新编

    十万个

    为什么

    第六册

    齐豫生 徐茂魁 主编

    台海出版社目 录

    数 学

    什么叫集合 ………………………………………………………

    集合怎样表示 ……………………………………………………

    什么叫子集 ………………………………………………………

    什么叫交集 ………………………………………………………

    什么叫并集 ………………………………………………………

    什么叫差集 (%) ………………………………………………………

    什么叫空集 ………………………………………………………

    什么叫等价集合 …………………………………………………

    什么叫函数 ………………………………………………………

    什么叫自然数 ( ……………………………………………………

    为什么说“)”不是自然数 (! )) ……………………………………

    为什么要建立进位制 (! !) …………………………………………

    为什么有了十进位制，还要有二进位制 (! ) ……………………

    什么是二进数和八进数………………………………………

    十进数和二进数怎样互相换算 (! ) ………………………………

    十进数和八进数怎样互相换算 (! %) ………………………………

    为什么时间和角度的单位采用六十进位制 (! %) …………………

    什么是小九九 (! ) …………………………………………………

    什么叫整除 (!) ……………………………………………………

    整除有哪些性质 (! ………………………………………………

    怎样判别能被或、或 、’或! 整除的数 ( )) …………

    怎样判别能被(或整除的数 ( !) ………………………………

    · ! · ! 目 录怎样判别能被!、 、 整除的数 ( ) …………………………

    怎样判别能被 、 %、 、、 整除的数 ( ) ………………

    为什么约数和倍数是“双胞胎” ( %) ……………………………

    怎样确定一个大于的整数有多少个约数 ( %) …………………

    什么叫“筛法” ( ………………………………………………

    为什么“首同末合十” “末同首合十”的

    两个两位数相乘可以速算 () …………………………………

    为什么小数点对齐才能相加减 ( )) ………………………………

    为什么小数相乘不需要对齐小数点 ( )) …………………………

    为什么除数是小数的除法要把除

    数转化成整数后再除 ( ) ………………………………………

    为什么“)”不能作除数 ( ) ………………………………………

    求积的近似值和商的近似值有什么不同 ( ) ……………………

    为什么两数相除(除数不为零)不会得

    到无限不循环小数 ( ) …………………………………………

    怎样把循环小数化为分数 ( ) ……………………………………

    无限小数、无限循环小数和!有什么区别 ( …………………

    什么是准确数和近似数 ( !) ………………………………………

    什么叫有效数字 ( ) ………………………………………………

    为什么) + 和) + )有时相等有时又不等 ( ) ……………………

    为什么异分母分数不能直接相加减 (% )) …………………………

    怎样比较异分母分数大小 (% ) ……………………………………

    为什么不用通分能很快算出一些复杂的分数加减法 (% ) ………

    繁分数和连分数有什么区别 (% %) …………………………………

    等式和方程式有什么区别 (% ……………………………………

    什么叫综合法和分析法 (% ………………………………………

    怎样求等差奇数列的和 (%) ………………………………………

    什么情况下, -. , 0. (% ) ………………………………………

    · ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 数“ ! ” ( ) …………………………………………………………!是超越数 ( ) ……………………………………………………

    什么是最小数原理 ( %) ……………………………………………

    什么是孪生素数 ( ) ………………………………………………

    什么是“亲和数” ( ) ……………………………………………

    什么样的数能组成勾股数 ( ) ……………………………………

    什么是默比乌斯带 () ……………………………………………

    什么是黄金分割矩形 ( …………………………………………

    为什么直角三角形分割成全等三角形的个数

    不一定是完全平方数 ) ………………………………………

    为什么答案是错的 ) ……………………………………………

    圆面积与圆周长的一种特殊关系 ) ……………………………

    为什么圆的周长的计算是极限问题 %) …………………………

    为什么两箱铁球一样重 +) ………………………………………

    为什么五面体,四面体可能等于五面体 ) ……………………

    怎样进行应用题验算 )) …………………………………………

    列方程解应用题的关键是什么 ) ………………………………

    怎样利用“假设”的数学思想解答应用题 ) …………………

    怎样利用“转化”的数学思想解答应用题 …………………

    怎样利用“对应”的数学思想解答应用题 ( ) …………………

    怎样用“点图”的思考方法解答应用题 ( ) ……………………

    怎样利用“倒推法”灵活巧妙地解决实际问题 ( ) ……………

    怎样利用“列举法”解答应用题 ( %) ……………………………

    怎样利用“加法原理”解决生活中的实际问题 ( ) ……………

    怎样利用“乘法原理”解决生活中的实际问题 ( ) ……………

    什么叫等差数列和等差数列通项公式 ( ) ………………………

    怎样应用“等差数列求和”公式解决实际问题 () ……………

    为什么已知 ( ( 年元旦是星期三，就能很快

    · ! · ! 目 录推出! 年“六一”儿童节也是星期三 ( ) …………………

    不翻日历，你能算出某一天是星期几吗 ( ) ……………………

    你知道数的概念的发展吗 ( ) ……………………………………

    虚数形成的历史 ( %) ………………………………………………

    是谁首先用 (’ )表示函数的 ( ………………………………

    古代数学史上的第一个极值问题 ( )) ……………………………

    为什么“卡尔丹公式”有一段不公正的历史 ( ) ………………

    为什么巴黎科学院宣布不再审查

    三大难题的“论文” ( ) ………………………………………

    关于国际数学奥林匹克竞赛 ( +) …………………………………

    为什么说这是“墓碑上的数学” (+ ) ……………………………

    什么是“高斯问题” (+ !) …………………………………………

    为什么小高斯算得这么快 (+ ) ……………………………………

    什么是“陈氏定理” (+ …………………………………………

    为什么欧几里德的“第五公设”不是定理 (+ )) …………………

    为什么“虚几何学”是非欧几何 (+ ) ……………………………

    为什么说祖日 恒是“最早提出微积分思想”的人 (+ ) ……………

    康托尔和他的集合论 (+ +) …………………………………………

    “理发师悖论”的数学背景是什么 (, ) …………………………

    你知道谁是三角学的主要奠基人吗 (, ,) …………………………

    你知道什么是“菲尔兹奖”吗 (, !) ………………………………

    何谓秦九韶“三斜求积术” (, ) …………………………………

    什么是《算经十书》 (, …………………………………………

    什么是《周髀算经》 (, …………………………………………

    什么是《九章算术》 (, )) …………………………………………

    什么叫“抽屉原则” (, ) …………………………………………

    什么是“中国剩余定理” (, +) ……………………………………

    什么是“幻方” (, , ,) ………………………………………………

    · ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 什么是“百鸡问题” (! ! ) …………………………………………

    什么是“牛吃草”问题 (! ! ) ………………………………………

    为什么数学也会发生危机 (! ! ) ……………………………………

    五角星的壮歌 (! % ) …………………………………………………

    三个二、三个三与三个四 (! % !) ……………………………………

    填数字的卡片 (! %) …………………………………………………

    哪些灯还亮着 (! % ) …………………………………………………

    为什么这是一个胜负已定的游戏 (! % ) ……………………………

    为什么毕达哥拉斯三元数之积能被( 整除 (! % ………………

    为什么你不能中奖 (! % ) ……………………………………………

    破碎砝码的妙用 (! % )) ………………………………………………

    为什么两个桶里的水还会一样多 (! % ) ……………………………

    为什么三人同时猜出了帽子的颜色 (! !) …………………………

    为什么“对称”意识能使你在游戏中获胜 (! !) …………………

    为什么一张牛皮占有的土地上能建筑一座城堡 (!) ……………

    长绳的妙用 (! ) ……………………………………………………

    为什么客满的旅馆还能住进一位客人 (! ) ………………………

    为什么用尽旅馆的所有房间却装不下

    短线段上的点 (! ………………………………………………

    为什么模糊数学并不模糊 (! ) ……………………………………

    为什么存在突变理论 (! )) …………………………………………

    为什么把海王星叫做“笔尖上的星” (! ) ………………………

    什么是叙古拉猜想 (! ) ……………………………………………

    札波里的奇想 (! ) …………………………………………………

    信息科学

    什么是“信息高速公路” (! %) ……………………………………

    信息反馈是怎么回事 (! ) …………………………………………

    · ! · ! 目 录什么是第五次信息革命 (! ) ………………………………………

    电子出版物经历了哪几个发展阶段 (! ) …………………………

    电子书刊的特点是什么 (! ) ………………………………………

    什么是音像出版物 (! ) ……………………………………………

    什么是无线电接力通信 (! %) ………………………………………

    为什么对流层散射通信距离远、容量大、可靠性高 (! ) ……………………………………………………

    为什么流星余迹也可以用来通信 (! ……………………………

    微波通讯为什么发展这么快 (! !) …………………………………

    为什么在海洋里不能像在宇宙空间那样使用雷达 (! )) …………

    什么是莱塞雷达 (! ) ………………………………………………

    雷达为什么能够测风 (!) …………………………………………

    雷达是怎样测雨的 (! ) ……………………………………………

    怎样利用雷达探测雷电 (! ) ………………………………………

    为什么说无线监听可追求更高感受 (! …………………………

    为什么说无线话筒让人们自由地卡拉 + (! !) …………………

    使用语音识别技术，能让机器人听懂人的话吗 (! !) ……………

    你知道什么是光通信吗 (! ,) ………………………………………

    通信线路是如何发展的 (! )) ………………………………………

    电话为什么打不通 (! ) ……………………………………………

    什么是- .电话 (! ) ………………………………………………

    你知道电话是怎样工作的吗 (! ) …………………………………

    买 0 1视盘机时，单碟机和三碟机选哪个比较好 (! %) ………

    目前，1 1为什么不能快速取代 0 1 (! ) ……………………

    为什么说影视点播( 1)业务潜在市场很大 (! …………

    什么是数字照相机 (! !) ……………………………………………

    什么是电子计算机 (! ,) ……………………………………………

    为什么把电子计算机叫做电脑 (! )) ………………………………

    · ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 谁最先发明了电子计算机 (! ) ……………………………………

    电子计算机的发展经历了哪几个阶段 (! ) ………………………

    什么是第五代电子计算机 (! ) ……………………………………

    为什么计算机有记忆能力 (! %) ……………………………………

    为什么计算机要用二进位制 (! ) …………………………………

    为什么计算机要有特殊的机房 (! %) ………………………………

    为什么计算机要有兼容机 (! % ……………………………………

    为什么计算机会干活 (! % ) …………………………………………

    为什么计算机会判卷 (! % )) …………………………………………

    为什么计算机会下棋 (! % ) …………………………………………

    为什么计算机会看病 (! % %) …………………………………………

    为什么计算机会唱歌 (! % ) …………………………………………

    为什么计算机能猜出你的年龄 (! ) ………………………………

    计算机的智力会超过人吗 (! !) ……………………………………

    为什么会出现计算机犯罪 (! ……………………………………

    为什么计算机能缩短动画片的制作周期 (! ) ……………………

    为什么计算机会感染上病毒 (! ) …………………………………

    为什么可以用“黑箱方法”了解和使用

    电子计算机 (! ) …………………………………………………

    为什么有人说二进制起源于中国 (! )) ……………………………

    什么是计算机的科学记数法 (! ) …………………………………

    怎样让计算机输出数学用表 (! %) …………………………………

    怎样让计算机输出乘法口诀表 (’ ) ………………………………

    怎样让计算机出算术题 (’ !) ………………………………………

    为什么能跟计算机玩“剪刀，钉锤，布”的游戏 (’ …………

    为什么说电脑是设计师 (’ )) ………………………………………

    为什么说电子计算机是绘画大师 (’ ) ……………………………

    电子计算机有哪些基本组成部分 (’ %) ……………………………

    · ! · ! 目 录电子计算机的基本功能是什么 (! ) ………………………………

    什么是鼠标 (! ) ……………………………………………………

    使用磁盘和磁盘驱动器应注意哪些事项 (! ) ……………………

    怎样查看磁盘文件目录 (! !) ………………………………………

    怎样复制一个系统主盘 (! %) ………………………………………

    怎样格式化新盘片 (! ) ……………………………………………

    怎样把’ ( ) +程序存在磁盘上 (! ,) ……………………………

    怎样读入和运行磁盘上的’ ( ) +程序 (! -) ……………………

    什么是调制解调器 (! .) ……………………………………………

    什么是 0 1内存 (! .) ……………………………………………

    什么是传输介质 (! ) ………………………………………………

    什么是2 3 4 5 6 7 8浏览器 (! ! ) ………………………………………

    什么是闪速存储器 (! ! ) ……………………………………………

    为什么有的芯片叫9 8 : 4 ; < =，有的又叫> . ,呢 (! ! ) ……………

    如何在 ? ; : @ 3 A B C D中设置调制解调器 (! ! !) …………………

    为什么调制解调器又叫“猫” (! ! %) ………………………………

    什么叫路由器 (! ! ) …………………………………………………

    什么是计算机软件 (! ! >) ……………………………………………

    为什么计算机要有软件 (! ! >) ………………………………………

    为什么说软件是计算机的灵魂 (! ! -) ………………………………

    为什么计算机要有程序设计语言 (! ! .) ……………………………

    为什么要学习电子计算机的语言 (! ! ) ……………………………

    什么是0 1 )，怎样引导0 1 ) (! % ) ………………………………

    还有哪些常用0 1 )命令 (! % ) ……………………………………

    5 6 7 6语言是什么样的程序结构 (! % %) ………………………………

    什么是“千年虫” (! % %) ……………………………………………

    你知道形形色色的电脑病毒吗 (! % ) ………………………………

    为什么要发展因特网 (! % ,) …………………………………………

    · ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! ! % 有什么特点 ( …………………………………………! % 上有哪些音乐网址 ( )) …………………………………

    怎样进行入网登录 ( ) ……………………………………………

    上网有哪些技巧 ( ) ………………………………………………

    怎样提高访问! % 的速度 ( + ,) ………………………………

    怎样在! % 上寻人 ( + -) ………………………………………

    什么是防火墙 ( + ) …………………………………………………

    什么是. 0 ( +) …………………………………………………

    怎样选择网卡 ( + +) …………………………………………………

    通过有线电视上网是怎么回事 ( + +) ………………………………

    你知道怎样办理入网手续吗 ( + 1) …………………………………

    计算机网络有哪些种类 ( + 2) ………………………………………

    何谓网络互连功能 ( + ……………………………………………

    什么是家庭网络 ( + )) ………………………………………………

    互联网上唱片公司是怎样工作的 ( + ) ……………………………

    有线电视全国联网能一蹴而就吗 ( 1 ,) ……………………………

    什么是! 3地址 ( 1 ,) ………………………………………………

    你知道如何进行拨号上网吗 ( 1 ) …………………………………

    你知道上网需要支付哪些费用吗 ( 1) ……………………………

    上网怎样省钱 ( 1) …………………………………………………

    为什么说远程教学有很大的市场吸引力 ( 1 1) ……………………! % 4 与企业有何关系 ( 1 2) ……………………………………

    怎样避开上网高峰 ( 1 ……………………………………………

    个人上网需要什么条件 ( 1 ………………………………………! % 有哪些入网方式 ( 1 )) ……………………………………

    · ! · ! 目 录数 学

    什么叫集合

    集合是数学最基本的概念之一。

    把一些单独的物体合起来看成一个整体，就形成一个集合

    (或集) 。例如：

    一个学校的所有学生可以作为一个集合。

    某飞机场上所有的飞机可以作为一个集合。

    笼子里所有的小鸟可以作为一个集合。

    所有自然数可以作为一个集合。

    需要注意两点：

    第一，集合是指这类事物的全体，而不是指个别事物。

    第二，集合中包含的事物必须是确定的，即可以确切判断一

    个事物属于不属于这个集合。如“一切自然数” ，它有确定的特

    征，可以组成一个集合。 “一切大的数”这种说法没有表示出确

    定的界限； “骄傲的小花猫” ，对此无法作出明确的判断，所以这

    些都不能分别组成一个集合。

    集合一般用大写字母!、、、、%、等表示。

    组成集合的各个物体，叫做这个集合的元素(或“元” ) 。例

    如：

    一个学校的每个学生是这个学校学生集合的一个元素。

    某飞机场的每架飞机是这个飞机场集合的一个元素。

    笼子里的每只小鸟是笼子里小鸟集合的元素。

    是自然数集合的一个元素。

    · ! · ! 数学·信息卷必须注意：集合中的元素一定要相异的。如：!、、、

    这四个数可以组成一个集合，而不能由!、!、!、组成一个集

    合，因为这里的个!是同一个元素。

    集合中的元素一般用小写字母% 、 、 、( 、)等表示。!个书包也可以作为一个集合，这个集合只有一个元素，就

    是这个书包。!个人也可以作为一个集合，这个集合也只有一个

    元素，就是这个人。

    只有一个元素的集合叫做单元素集。

    集合中的元素可以是有限多个，也可以是无限多个，如自然

    数集，它的元素是无限多个。

    由无限个元素所组成的集合作叫做无限集。

    一个学校的学生是有限的，所以一个学校学生的集合是有限

    集。

    集合怎样表示

    集合的表示法有三种。

    列举法：把一个集合的所有元素一一列举出来，放在 { }

    里面。例如：

    全体自然数的集合用来表示。

    记作： { !，，，……}

    小于,的自然数集合用-表示。

    记作：-+ { !，，，}

    描述法：用文字来描述一个集合的特征。

    例如：全体自然数组成的集合用表示。

    记作： { 全体自然数}

    小于,的自然数组成的集合用.表示。

    记作：.+ { 小于,的自然数}

    · ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 除了上述表示法以外，还可以在一个集合的所有元素外面画

    一个圈，直观地表示这个集合。这种图叫韦恩图(韦恩是英国的

    一位逻辑学家) 。小学数学课本就采用这种表示法。

    若!是集合中的一个元素，我们就说!属于集合。用!

    表示“属于” ，写作：! !。

    例如：锐角三角形属于三角形集合，写作：锐角三角形!

    { 三角形} 。

    反过来，若!不是集合中的一个元素，我们就说!不属

    于集合，用表示“不属于” ，写作：! 。

    例如：正方形不属于三角形集合，写作：正方形 {三角

    形} 。

    什么叫子集

    请看下面一组集合。

    { %、、’}

    ( { %、、’、)}

    { 、)、’、%}

    我们看到，集合的每一个元素都是集合(的元素，我们

    就说集合(包含集合 ，包含于(，写作：(或 (

    (读作(包含，包含于 ，那么集合 叫做集合(的子

    集。

    我们又看到，集合 的每一个元素都是集合(的元素，我

    们就说集合(包含集合 ，包含于(，那么集合是集合(

    的子集。

    我们仔细观察集合(包含集合 与集合(包含集合 是

    有区别的。集合的每一个元素都属于集合(，但集合(有一

    个元素不属于集合，从而得出：

    · ! · % 数学·信息卷如果集合!的每一个元素都属于集合，但集合至少有一

    个元素不属于集合!，那么集合!叫做集合的真子集。记作：!!或!(读作!包含于，包含!) 。例如：

    { 一个班的学生} { 一个班的男学生}

    { 以内自然数}! { 全体自然数}

    { 直角三角形}! { 所有三角形}

    一个班的男学生是这个班学生的真子集。

    以内自然数是全体自然数的真子集。

    直角三角形是所有三角形的真子集。

    我们又看到集合 %的每一个元素都属于集合，而集合

    的每一个元素也属于集合 %，从而得出：

    如果集合!包含集合，且集合包含集合!，则集合!

    与相等。即

    如果!且! 则!’

    由此可见，两个集合是否相等，只要看它们是否由相同的元

    素组成，而与元素的排列顺序无关。如：!’ { ，(，)}

    { )，(，}

    { 小于+的自然数}

    ,’ { -的约数，-除外}!’’’,子集包括真子集与集合相等两种。

    每个集合是这个集合本身的子集。空集也是任何一个集合的

    子集。!’ { . ， ， 0 }集合!有1个子集，即： { . }{ }{ 0 }

    { . ， }{ . ， 0 }{ ， 0 }{ . ， ， 0 }

    一个非空集合至少有两个子集，即集合本身和空集。

    在小学数学教材中渗透了一些子集思想。例如用韦恩图表示

    · ! · 新编十万个为什么 %%%%%%%%%%%% 四边形的关系。

    什么叫交集

    由集合!和集合的共同元素组成的集合，叫做!与的

    交集。写作!!。

    例如： { ，，%，， (}! { (， )， (，’ )，’ (}

    { (}

    又如：+ { , ，- ， . } { . }

    +! { . }

    当+ +!

    当是+的子集时，是+、的交集。

    如果集合!和集合(都不是空集) ，没有共同的元素，它

    们的交集是空集。! { ，’，} { , ，- ， . }!! { } 或!!

    我们就说!与是不相交集。

    在小学数学教材中渗透了一些交集的思想。例如韦恩图表示

    两个数的公约数和公倍数。

    什么叫并集

    两个集合!、中的元素合在一起组成的新集合，叫做!与

    的并集(若!、有共同元素，只列举一次) 。写作!。

    例如：! { ，’，} { 0，(，}! { ，’，，0，(，}

    又如：+ { , ，- ， . } { 1 ， 2 ， . }

    注意：+、的公共元素.只算一次，这与数的加法不同。

    · ! · % 数学·信息卷!! { ，% ， ，’ ， ( }

    再如：) { ，，} { ，})! { ，，}

    当%) )!)

    是)的子集时，)是、)的并集。

    从集合的观点来看，加法运算就是求两个不相交集的并集的

    基数。例如：

    +,-.

    两个不相交集的基数都叫做加数，加法的运算符号叫做加

    号。加得的结果，即两个集的并集的基数，叫做和。

    什么叫差集

    两个集合)、，若集合的所有元素属于)但不属于，就叫做)与的补集。写作：)0或) 。

    例如：) { 1 2 2以内的自然数}

    { 能被.整除的自然数}

    )0 { 1 2 2以内不能被.整除的自然数}

    在这里)不包含。

    特殊情况，若集合是集合3的子集，把集合3看作全集，那么3与的差集3 0，叫做在3中的补集。写作：。

    例如： 3 { 全校的学生}

    { 全校的男生}

    { 全校的女生}

    3 00

    反过来，。

    从集合的观点来看，减法运算是已知两个集合(不相交)的

    并集的基数，以及其中一个集合的基数，求另一个集合的基数。

    · ! · 新编十万个为什么 也可以看作是求集合!与集合(必须是的子集)的差集的

    基数。

    什么叫空集

    集合可以没有元素。一个元素也没有的集合叫做空集。写

    作：!或 { } 。

    例如：光华小学通知说： “数学不及格的同学在本星期六下

    午补考。 ”五年级一班没有数学不及格的同学，所以“五年级一

    班数学不及格同学”这个集合没有元素，它就是一个“空集” 。

    又如：没有小于%的自然数，因此小于%的自然数是一个空

    集。! { 小于%的自然数} 。

    空集和“”的概念不一样，如小学数学第一册教材讲“”

    的时候是这样讲的：圈里有’个茶杯，记作“’” ，圈里有%个茶

    杯，记作“%” ，圈里%个茶杯也没有，记作“” ，这里的“’” 、“ %” 、“”都指的是元素的个数，也就是基数，“基数为的集

    合”叫空集。

    空集和只含有一个元素的集合也不一样，只含有一个元素

    的集合是单元素集，记作：{ } 。

    什么叫等价集合

    两个集合、，如果集合里的每个元素，都和集合里

    一个唯一的元素对应；反过来，集合里的每个元素，都和集

    合里一个唯一的元素对应，我们就说这两个集合的元素是一

    一对应的。

    两个集合、，如果它们的元素一一对应，两个集合叫做

    等价集合。记作：!。例如：左手手指的集合和右手手指的

    · ! · 数学·信息卷集合是等价集合。

    我们数数就是利用了等价集合的元素一一对应性质。例如：

    { ! ! ! ! ! ! }

    { ! % }

    数到最后一个圆圈“” ，就是圆圈这个集合的元素的个数

    (这个集合的基数)是。

    利用一一对应，可以比较两个集合的元素的个数。例如：

    { !!!} { }

    { }相等 { }比多

    对于有限集合，如果两个集合等价，那么它们的元素个数相

    等，对于无限集合来说，则不是这样。如：

    自然数集合’ { !，，……}

    偶数集合’ { ，，……}

    很显然，偶数集合是自然数集合的真子集，因此，初看起来

    偶数集合里的元素“个数”要比自然数集合少，但是偶数集仍然

    可以和自然数集建立一一对应的关系，因而这两个无限集合是等

    价的。

    由此可见，一个集合能否与它的真子集等价，是区别有限集

    合与无限集合的分界线。

    什么叫函数

    在某一过程中可以取不同数值的量，叫做变量，在这一过程

    中保持一定数值的量，叫做常量。表示常量的数叫做常数。

    例如：一台抽水机每秒钟抽水 (千克，那么抽水总量)和

    时间之间有下面的关系：) ( 。 ，)都可以取不同的数值，都是变量， (千克在抽水过程中保持不变的量。

    对于自变量的每一个确定的值，另一个变量都有确定的值和

    · ! · 新编十万个为什么 %它对应，这样的变量叫做自变量的函数。

    如上例：时间!的值可以在!!的范围内任意选取，对于!的每一个确定的值，抽水总量都有唯一确定的值和它对应。! (小时) % ( ……

    (千克) ) % ( ……!是自变量，是!的函数。

    如果是!的函数，一般可以记作： + , (! ) 。

    自变量的取值范围叫做函数的定义域。

    在小学数学教材中渗透函数知识。

    +! -((一次函数)

    +) ! (正比例函数)

    +.!(反比例函数)

    +! %(二次函数)

    什么叫自然数

    我们数物体时，用来表示物体个数的、%、、’、(、)、、0、、 、 ……叫做自然数。

    在自然数中，是最小的。任何一个自然数都是由若干“”

    组成的。所以，是自然数的单位。如果从起，把自然数按照

    后面的一个数比前面的一个多“”的顺序排列起来，就得到一

    列数：

    、%、、’、(……

    这个由全体自然数依次排列成的一列数叫做自然数列。自然

    数列有以下性质：

    · ! · 数学·信息卷一、自然数列是有始的，!是自然数列最前面的一个数；

    二、自然数列是有序的，即自然数列每一个数的后面都有一

    个而且只有一个后继数。

    三、自然数列是无限的，即自然数列里不存在“最后”的

    数。

    为什么说“”不是自然数

    自然数是表示“有”的符号，是从数物体个数的过程中产生

    的，因此，它是对数量的肯定；而在实践中，常常会遇到一个物

    体也没有的情况，如房间里一个人也没有，盒子里一支笔也没有

    等等， “”是表示“没有”的符号，是对数量的否定。

    “”是一个数，但不是自然数，它小于自然数!，也就小于

    一切自然数。

    “没有”用“”来表示，但是“”不仅仅表示“没有” ，在

    特定的条件下， “”还含有特定的内容。

    “”既不是正数，也不是负数，它是仅有的一个中性数。

    “”是正负数的分界，它对应于数轴上的一点，便决定了其它各

    点的位置。从“”点起，在一条直线上的某一方面被定为正，而相反的方向则为负。因此，数轴上原点“”比表示正负数的

    任何点都更为重要。

    在温度计上， “”度是零上温度和零下温度的分界线。当气

    温是“”摄氏度时，我们可以实实在在地感觉到它的存在，因

    此，不能说“”度是“没有”温度。

    “ ”在记数中可以用来占位。在一个四位数中，千位是，百位、十位、个位上没有数，就要用“”来占位，写成 ，这里的“”既不能随意增添，也不能随意删去，增添了，使原

    数扩大若干倍，删去了，使原数缩小若干倍，造成错误。

    · ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! “ !”可以参加运算。任何数与!相加，它的值不变。即：

    ! ，! 。任何数减!，它的值不变。即： %! 。相

    同的两个数相减，差等于!。即： % !。任何数与!相乘，积

    等于!。即：!!，!!。!被非零的数除，商等于!。

    即： !!，!’ !。

    “!”是一个偶数，因为它能被(整除； “!”是任意自然数的

    倍数； “!”不能作除数，因为它作除数是无意义的，或是商不存

    在的，或是得不到确定的商； “!”可以作为刻度的起点； “!”的

    相反数还是!； “!”没有倒数； “!”和自然数都是整数。

    随着数学知识的不断扩充，对“!”的认识也将更加全面。

    如引入绝对值的概念之后， “!”的绝对值等于!，即： ! !；

    引入指数的概念之后，任何非零的数的!次幂等于)，即：!!， !)……

    为什么要建立进位制

    人类早期，为了数猎物、果实等物体的需要，逐渐产生了

    数。人的手指是最早的计数工具。随着生产力的不断发展，人们

    在实践中接触的数目越来越多，也越来越大，因而需要给所有自

    然数命名。但是自然数有无限多个，如果对于每一个自然数都给

    一个独立的名称，不仅不方便，而且也不可能，因而产生了用不

    太多的数字符号来表示任意自然数的要求，于是，在产生记数符

    号的过程中，逐渐形成了不同的进位制度。可能由于人们常用十

    个手指来计数的缘故，多数民族都采用了“满十进一”的十进

    制。

    按照十进制计数法，我国是这样给自然数命名的。自然数列

    的前九个数各给以单独的名称，即：一、二、三、四、五、六、七、八、九；按照“满十进一”规定计数单位。 ) !个一叫做十，· ! ! · 数学·信息卷! 个十叫做百，! 个百叫做千，! 个千叫做万，! 个万叫做十

    万，! 个十万叫做百万，! 个百万叫做千万，! 个千万叫做万

    万，再给以新的名称叫做亿，亿以上又有十亿，百亿，千亿等

    等。这样，每四个计数单位组成一级，个、十、百、千级称为个

    级，万、十万、百万、千万称为万级，亿、十亿、百亿、千亿称

    为亿级等等。

    其他自然数的命名，都由前九个数和计数单位组合而成。例

    如，一个数含有个千、个百、%个十、个一，就称作三千

    四百五十六。并且规定，除个级外，每一级的级名只在这一级的

    末尾给出。例如，一个数含有%个百万，’个十万，个万，就

    称作五百二十六万。

    世界上许多国家的命数法不是四位一级，而是三位一级，!

    个千不给新的名称，就叫十千，到千千才给新的名称— — —密(译

    音) ，这样从低到高，依次是：个、十、百(是个级) ；千、十

    千、百千(是千级) ；密、十密、百密(是密级)等。

    为什么有了十进

    位制，还要有二进位制

    用十进位制来记数和运算，是大家都很习惯和熟悉的事。十

    进位制采用“满十进一”的“十进”计数、读数、写数的方法，即相邻的两个单位间的进率是十，有十个记数符号：、!、’、、、%、、(、)、，把它们写在不同的数位上，数字所代表

    的数值就不同。所以，用十个数字与位置相结合，就可以写出一

    切自然数，是世界各个国家通常使用的一种进位制。

    为什么有了十进位制以后，还要有二进位制呢？二进位制是

    什么样的，它有什么特别呢？

    二进位制是“满二进一” ，写一个二进位制的数只有和!

    · ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 两个数字，根据位值原则， “一”至“十”各数的写法如下：

    一记作!， 二记作! ，三记作! !， 四记作! ，五记作! !， 六记作! ! ，七记作! ! !， 八记作! ，九记作! !， 十记作! ! ，用和!这两个数字，也可以写出任何数值的数来。

    由于二进位制只有两个基本数和!，这就优于十个数字的

    十进位制，只要找到有两种稳定状态的元件，就可以用来表示二

    进位制的数了，在自然界中具有两种稳定状态的元件是很多的，如开关的“开”和“关” ，纸带有“有孔”和“无孔” 。只需“通

    电”和“断电”两种信号来表示和!，所以，二进位制被广泛

    应用于电子计算机中。

    采用二进位制还能使计算简单化。如果用二进位制做加法，对每一位来说只可能有种情况：%，!%!，!%!，!!%! 。而十进位制做加法，情况就要复杂得多，，!，，……!，!!，…，!，，……’，’

    !，’，……(，(!，……((等! 种情况。做减

    法、乘法、除法也同样是二进位制只有几种情况，十进位制有近

    百种情况。在四则运算中，满足四种情况自然优于满足一百种情

    况，由于算法简单，也就使电子计算机的运算器结构简单一些。

    因此，二进位制的产生，是因为它具有一定的有利条件和适

    应现代化建设的需要。

    十进位制和二进位制是两种不同的进位制。平时，人们习惯

    使用的是十进位制的数，而电子计算机运算是用二进位制的数，当电子计算机运算后得到二进位制的数以后，人们仍将用十进位

    制数把它表示出来，所以，两种不同的进位制之间是可以进行换

    算的，关于这个问题，以后有机会我们再作介绍，你不妨自己试

    · ! · ! 数学·信息卷着先研究研究。实际上，电子计算机里也配备有将两种进位制进

    行换算的程序，这是人类智慧的结晶。

    什么是二进数和八进数

    用几进制写出的数，我们就简称它是几进数，用十进数写出

    的数，就叫做十进数。二进数和八进数，就是分别用二进制、八

    进制写出的数。

    在一种进位制中，某一单位满一定个数就组成一个相邻较高

    的单位，这个一定的个数就叫做这种进位制的底数。例如，十进

    制的底数是! ，八进制的底数是，二进制的底数是。进位制

    的底数是!以外的任何自然数。

    每一种进位制都可以按照位值原则来记数。由于每种进位制

    底数不同，所用数字个数也不同。十进制要用包括在内的十个

    数字；八进制要用包括在内的八个数字，即!，，%，，’，(，)和；二进制只用!和两个数字。由于二进制只有两个数

    字，决定了它的运算法则比较简单，并且由于!和可以与开和

    关，有孔和无孔等建立对应，所以二进制广泛应用于电子计算机

    中。但是，用二进制记数位数比较多，使用很不方便，因此，在

    编制计算机的解题程序和在控制台的实际工作中，在二进制的基

    础上，有的采用八进制。

    为了标明是哪个进位制中的数，一般在数的右下角注出进位

    制的底数。十进数除特殊需要以外，一般不注出底数。

    用二进制记数的原则是“满二进一” ，例如，零写作 ，一写作(!) ，二写作(! ) ，三写作(! !) ，四写作(! ) ，五写作(! !) ，六写作(! ! ) ，七写作(! ! !) ，八写作

    (! ) 。

    因为二进制是满二进一，所以二进数的各个数位上的计数单

    · ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 位是：从右边起，第一位是一(! ) ，第二位是二 ，第三位

    是四(! !) ，第四位是八(! ) ，第五位上是十六(! %)……

    用八进制记数的原则是“满八进一” ，例如八写作( ) ，九写作( ) ，六十四写作( ) 。

    因为八进制是满八进一，所以，八进数的各个数位上的计数

    单位是：从右边起，第一位是一( ) ，第二位是八( ) ，第三

    位是六十四( !) ，第四位是五百一十二( )……

    十进数和二进数怎样互相换算

    要把一个十进数化成二进数，根据满二进一的原则，用底数!去除这个十进数，所得的余数是二进数的第一位数；第二次用!去除第一次除得的商，所得的余数是二进数的第二位数；第三

    次是用!去除第二次除得的商，所得的余数是二进数的第三位数……继续除下去，直到商余为止，最后所得的余数就是二进

    数最左边的一位上的数。

    例如，把’ (化成二进数。

    ! (……(余数是二进数的第一位数)

    ! (……(余数是二进数的第二位数)

    !(……(余数是二进数的第三位数)

    !%……(余数是二进数的第四位数)

    %)!!……(余数是二进数的第五位数)!)!……(余数是二进数的第六位数)

    )!……(余数是二进数的第七位数)

    按简头顺序写，就得：

    (( ) !

    要把一个二进数化成十进数，先将二进数写成底数!的幂的

    和的形式，再按照十进数的计算法则算出结果，就是这个二进数

    · ! · ! 数学·信息卷化成的十进数。

    例如，把(! ! ! !) 化成十进数。

    ( ! ! ! !) !%!% (’% )’%!%% !

    !% )’’’)’’!! !

    十进数和八进数怎样互相换算

    要把一个十进数化成八进数，根据满八进一的原则，用底数

    +去除这个十进数，所得的余数是八进数的第一位数；第二次用

    +去除第一次除得的商，所得的余数是八进数的第二位数；第三

    次用+去除第二次除得的商，所得的余数是八进数的第三位数……继续除下去，直到商为止，最后所得的余数就是八进数最

    左边的一位上的数。

    例如，把) !化成八进数。) !(, ! +

    要把一个八进数化成十进数，先将八进数写成底数+的幂的

    和的形式，再按照十进数的计算法则算出结果，就是这个八进数

    化成的十进数。

    例如， ( +%+%+ !’(%+ !

    为什么时间和角

    度的单位采用六十进位制

    时间的基本单位是“小时” ，角度的基本单位是“度” 。从表

    面看来，两者之间没有什么关系，可是，为什么它们都分成分、秒等名称相同的低级单位呢？为什么又都采用六十进位制呢？我

    们仔细研究一下，就可以发现，这两种量之间有着密切的联系。

    我们的祖先在研究天文和历法的时候，观察地球自转的角度是和

    · ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 时间紧密联系在一起的。因为历法需要较高的精确度，时间单位

    “小时”和角度单位“度”都嫌太大，必须进一步研究它们的低

    级单位。

    因为! 有 个约数，它能使

    、

    %、

    、

    、!……都能

    成为它的整倍数。以! 作单位，那么

    (% ! ，即% 个! ；

    %(

    ! ，即 个! ；

    (! ，即个! ；

    ( ! ，即 个! ；!

    ( ! ，即 个! ……等，说明六十进位制有它的好处。数学上

    习惯地把小时的! 和度的! 的单位称作分，用符号“ ) ”

    来表示；把分的! 的单位称作秒，用符号“ ”来表示。如

    果是’分% 秒，可以记作’ ) % ； +度分 %秒，可以记作

    + , ) % 。

    在体育比赛中，往往用到比“秒”还要精确的时间来说明比

    赛的成绩，如男子一百米短跑的世界记录是- - ，表示：九又

    百分之九十秒。

    什么是小九九

    小九九是乘法口诀中的一种。乘法口诀(也叫“九九歌” )

    在我国很早就已产生。远在春秋战国时代，九九歌诀就已经广泛

    地被人们利用。在当时的许多著作中，已见引用部分的乘法口

    诀。完全的乘法口诀，最早见于《孙子算经》 ，从“九九八十一”

    起到“一一如一”止共句口诀。敦煌发现的古“九九术残木

    简”上也是从“九九八十一”开始的。 “九九”之名就是取口诀

    开头的两个字。大约在宋朝(公元 、 %世纪)九九歌的顺序

    · ! · ! 数学·信息卷才变成和现代用的一样，即从“一一如一”起到“九九八十一”

    止。元代朱世杰著《算学启蒙》一书所载的! 句口诀，就是从

    “一一”到“九九” ，并称为九数法。

    由于我国语言都是单音节，九九口诀非常简捷方便，是我国

    特有的提高乘、除计算能力的一种方法。

    现在用的乘法口诀有两种，一种是! 句的，通常称为小九

    九，还有一种是 句的，通常称为大九九。

    什么叫整除

    整数%除以整数(!’) ，除得的商正好是整数而没有余

    数，我们就说%能被整除，记作% ( ，或者说整除% ，记作

    % 。

    判定一个整数能不能被另一个不为零的整数整除，只要进行

    除法运算，如果所得的余数是’，就是整除的情况；如果所得的

    余数不是’，就是不能整除的情况。如果%不能被整除，或者

    说不能整除% ，记作 % 。

    例如，)能整除 +，)不能整数 ，记作) +，) 。

    应该注意，整除的概念是在整数范围内讨论的，只有当被除

    数、除数和商都是整数(除数不能是零)时，才能叫做整除。引

    进小数后，出现了),-! . ，+ . ,- . ， . ,’ . - 0的

    情况，只能说被除数能被除数除尽，而不能说整除。因此，整除

    和除尽是两个完全不同的概念，应当严格区分。数%能被数整

    数，数%必然能被数除尽，如果数%能被数除尽，数%不见

    得能被数整除。因此，整除是除尽情况的特例。

    · ! · 新编十万个为什么 %整除有哪些性质

    性质! 如果甲数整除乙数，而乙数整除丙数，那么甲数必

    整除丙数。这一性质称为传递性，可以表示为：

    如果 ! ， ! ，那么 ! 。

    例如：% ! ， ! !，那么% ! !。

    性质% 如果两个数都能被一个数整除，那么它们的和或差

    也能被这个数整除。这一性质称为“和、差整除性质” ，可以表

    示为：

    如果 ! !， ! %，那么 !( !( %)

    例如：) ! ，) ! + ,，那么) !( (+ ,) ，即) ! ! -，) ! !。

    注意：对于差的情况，小学数学中要求. !. %-，待引入

    负数后，这一限制可以去掉。

    性质 如果两个整数. !、. % 中，有一个能被整除，而

    另一个不能被整除，那么它们的和(或差)一定不能被整

    除。

    例如： ! % 0， ! -。

    而 % 01! -2 0 % 0! -2! 0

    那么 0， ! 0

    性质+ 如果一个整数能被一个自然数整除，那么这个整数

    与另一整数的积也能被这一自然数整除。这一性质简称为“积的

    整除性质” ，可以表示为：

    如果 ! ，3为整数，那么 ! 3 。

    例如：! ) ! ，0 24%

    那么 ， ! ) ! 0 。

    由此还可以得出：如果一个自然数能整除几个整数中间的某

    一个，那么，它必能整除它们的积。

    · ! · %%%%%%%%%%%%% 数学·信息卷例如：因为! !

    所以! ! %!

    怎样判别能被或(、)或 (、’或! (整除的数

    一个数能被(或整除的特征：一个数的末一位数能被

    (或整除，这个数就能被(或整除。否则不能被

    (或整除。

    例如：判断% ! )、 能否被、(整除。

    因为% ! )的末位数是)能被整除，不能被(整除，所以

    % ! )…，% ! )不能被(整除。

    因为 的末位数是能被、(整除，所以 …， …(。

    我们知道，任何一个自然数，都可以表示成! 的幂的和的

    形式。例如：

    % ! )+%! ,!! ,! ,)

    把这个等式改写成：

    % ! )+(%! ,!! !,)! ,)

    这个等式的右边是两部分数的和，其中第一个加数中有因数! ，! 能被或(整除，根据数的整除性质)，第一个加数一定

    能被或(整除。又根据数的整除性质，决定% ! )能否被或

    (整除是第二个加数)(也就是这个数的末位数)能否被或(

    整除。

    一个能被)或 (整除的数的特征是：这个数的末两位数能

    被)或 (整除。

    例如：判断% ! 、! % (能否被)、 (整除。

    因为% ! 的末两位数 能被)整除，不能被 (整除，所

    · ! · 新编十万个为什么 以! …%，! 不能被 整除。

    因为 ! 的末两位数! 不能被%整除，能被 整除，所

    以 ! 不能被%整除， ! … 。

    同样道理 ! +’) +!)

    ()) +!

    这个等式右边的第一个加数中有因数 ， 能被%或

    整除，第一个加数一定能被%或 整除。决定 ! 能否被%或

    整除是第二个加数! (也就是这个数的末两位数)能否被%

    或 整除。

    一个能被’或 整除的数的特征是：这个数的末三位数能

    否’或 整除。

    例如：判断, 、! ! 能不能被’、 整除。

    - ! .’ ! , ；- . , ；-’ ! .’ ! ! ；- ! . ! ! 。

    此特征的理由请读者自己想一想。

    怎样判别能被或整除的数

    能被或整除的数的特征是：这个数的各个数位上的数的

    和能被或整除。

    例如：判断 ! ,、 ! %能不能被、整除。

    -+!++,(， ! ， ! ，. ! ! ,， ! ! ,。

    -+!++%( ， ， ! ，. ! %， ! ! %。

    我们把 ! ,分解为：

    ! ,( ! ,( )+ )!+ )+,(( +))+( )))!+(+))+,( )++ )!+!+)++,· ! · 数学·信息卷! %%’(!( %(%’)

    这个等式右边的第一个加数中有因数，能被或(整除，因此第一个加数一定能被或(整除。决定% ( )能否被或(

    整除是第二个加数%’的和(也就是这个数各个数位上

    的数的和)能否被或(整除。

    怎样判别能被

    、 、 (整除的数

    能被’、 、 (整除的数的特征是：这个数的末三位数和末

    三位以前的数字所组成的数之差(用两数中较大的数减较小的)

    能被’、 或 (整除。

    例如：判断 % + (、 + + , % 能不能被’、 、 (整除。

    % + (的末三位数是：% + (

    末三位数以前的数字所组成的数是：

    % + (- ! + ,.’ ! + , + , ( + ,’ ! % + ( % + ( ( % + (

    + + , % 的末三位数是： %

    末三位数以前的数字所组成的数是： + + , + + ,- % !’

    ! ! (

    .’ ! + + , % ! + + , %

    ( + + , %

    此特征的理由是：

    % + (! + + +% + (! + + (% + (- )

    · ! ! · 新编十万个为什么 因为! !%! !%! ，’ (%! !也能被、! !和! 整除就

    要看第二个加数) (的差(即这个数末三位数与末三位数以

    前的数字组成的数之差)能被、! !或! 整除。

    能被! !整除的数的特征：一个数的偶数位上的数之和与奇

    数位上数之和的差(大的数作被减数)能被! !整除，这个数就

    能被! !整除。

    例如：判断+ ) , ) !能否被! !整除。

    -(+..).!)(.,.))! ! ! ! ! ! + ) , ) !

    怎样判别能被! )、! +、! ,、! (、) !整除的数

    一个数既能被整除，又能被+整除(和+是互质数) ，这个数一定能被! )整除。

    例如：判断+ , )、 + ! +能否被! )整除。

    - ! + , ) + ! + , ) ! ) ! + , )

    - ! + ! + + + ! + ! ) + ! +

    一个数既能被)整除，又能被整除和是互质数) ，这个

    数一定能被! +整除。

    例如：判断’ ( 、 + ) , )能否被! +整除。

    - ! ( ) ( ! + (

    - ! + ) , ) ) ! + ) , )

    ! + ! + ) , )

    一个数既能被整除，又能被,整除(和,是互质数) ，这个

    数一定能被! ,整除。

    例如：判断 0 ,、+ ) ! 能否被! ,整除。

    - ! 0 , , ! 0 , ! , ! 0 ,· ! · 数学·信息卷! ! % % (% ! %

    一个数既能被整除，又能被)整除(和)是互质数) ，这个

    数一定能被% 整除。

    例如：判断 + 、’ % 能否被% 整除。! + ) + (% + ! % ) ! % (% ! %

    一个数既能被整除，又能被+整除(和+是互质数) ，这个

    数一定能被 %整除。! % % + % % ( % % % ! + , + ! + , ( % ! % + ,

    为什么约数和倍数是“双胞胎”

    - 、.是任意两个整数，其中.。如果-能被.整除，那

    么-叫做.的倍数，.叫做-的约数(也叫因数) ；如果-不能被

    自然数.整除，那么，-不是.的倍数，或得说.不是-的约数。

    例如0，是的倍数，是的约数。因为 ! +，所以+

    不是的倍数，不是+的约数。

    约数和倍数表明的是两个数之间的关系，所以是互相依存的

    “双胞胎” 。% 0，只能说：“% 是的倍数，是% 的约

    数。 ”而不能说： “% 是倍数” ，因为% 是的倍数，% 却不是

    的倍数。也不能说： “是约数” ，因为是% 的约数，却不

    是% 的约数。

    怎样确定一个大

    于%的整数有多少个约数

    在数学竞赛中，经常出现一个数有多少个约数的题目。怎样

    · ! · 新编十万个为什么 %很快确定它们约数的个数呢？我们先来讨论! 共有几个约数？

    如果我们把! 的约数一个不落地写出来，再数一数，是能找到

    答案的。为达到这个目的，先将! 分解质因数，! %%’

    ’% %’，下面把! 的约数从小到大写出来，依次为!、%、’、(、)、、! %、! 、% +、’ )、, (、! ，共! %个。这! %个

    约数还可用下面数阵的形式列出。! %

    % %’ %’ % %’

    % % % %’ % %’ % % %’

    这个数阵的规律是先将只有%的约数写成一竖列，把只含有

    的约数写成一横行，然后把竖列、横行中的一些数的积写在相

    应的位置上，这样得到的数阵包含了原数的所有的约数。

    在上面的数阵中，每列有’个约数，有(列’(! %，所

    以一共有! %个约数。但当数较大时，这样做很麻烦，有没有别

    的好方法呢？我们观察等式! % %’，如果把式子中的指数

    %与’分别加!，得’和(，而’(正好是! %，与! 约数个数

    相同。

    因此，一个大于!的整数的约数的个数，等于它的质因数分

    解式中每个质因数的指数加!的连乘积。又如( , 有多少个约

    数？

    因为( , %’ %, (

    而(’-!)(%-!)((-!)) ，所以( , 有)

    个约数。

    · ! · ! 数学·信息卷什么叫“筛法”

    “筛法”是一种求质数的方法。是公元前! 年左右由古希

    腊著名数学家埃拉托色尼提出的，所以，也叫埃拉托色尼筛法。

    埃拉托色尼把自然数、、!、%……写在一块涂了一层白

    蜡的板上，将去掉数的地方用工具刺成小孔，很像一个筛子。因

    为用它把有的合数都筛掉，留下的都是质数，所以，人们把这种

    求质数的方法叫做“筛法” 。

    筛法的根据是：对于一个正整数，如果不能被小于或等于

    的任何一个正整数所整除，那么这个数必定是质数。

    具体的做法是： (以 以内的质数的筛选为例)先把到

    这一百个数依次排列(如下表) 。

    ! % ( ) +

    ! % ( ) +

    … …

    不是质数也不是合数，先划去或圈上。!，，!，%，’，(，)，，+， ， ， ……

    留下，把后面所有的倍数都划去，凡是的倍数都是

    偶数，也就是把后面的所有偶数划去；!，，!，% !，’，( !，)， !，+， !， ， !， !， % !……

    留下!，把!后面所有!的倍数都划去；!， ，!，%，’，( !，)，，+ !， ， ， !， !， %， !， (……

    留下’，把’后面的所有’的倍数都划去，也就是把’后面

    · ! · 新编十万个为什么 所有个位是!和的数都划去；!，，，%，，，’，(，)， ! !， ， ， ， %， !， ……

    留下’，把’后面所有’的倍数都划去；

    如此继续做下去，一直筛到 ! !以内的合数全部划尽。

    下面的表就是筛去了全部合数后，得到的 ! !以内的质数。! % ! ! ( ! ) ! ! !

    ! % ! ! ! ( ! ) ! ! !

    ! ! % ! ! ! ! ( ! ) ! !

    ! ! % ! ! ! ( ! ) ! % ! !

    % % ! % % % ! % ! % ! % % ( ! % ) ! ! !

    ! ! % ! ! ! ! ( ! ) ! !

    ! ! % ! ! ! ( ! ) ! ! !

    ! ! % ! ! ! ! ( ! ) ! ( ! !

    ( ! ( ! ( ! ( % ! ( ! ( ! ( ( ( ! ( ) ) ! !) ! ) ! ) ! ) % ! ) ! ) ! ) ! ) ( ! ) ) ! ! ! !

    ! !以内质数有：，，，’， ， ，， )， ， )， ， ，% ，% ，%， ， )， ，，’ ，’ ，’ )，( ，( )，)共 个。

    · ! · 数学·信息卷为什么“首同末合十” “末同

    首合十”的两个两位数相乘可以速算

    两个两位数相乘，它们的十位数相同，个位数的和是! ，称作“首同末合十” ，如 % ，’ (%’ ，) %)等。

    两个两位数相乘，它们的个位数相同，十位数的和是! ，称作“末同首合十” ，如 %( ，’ (% (，) %) 等。

    “首同末合十” “末同首合十”的两个两位数相乘可以不用笔

    算，掌握了速算方法 ，便可以迅速口算出相乘的积来。

    “首同末合十”的速算方法是：先用十位数乘以比它多!的

    数，所得结果作为积的前两位数，两个个位数相乘作为积的后两

    位数。

    如 % +%(,!)%! ,%

    +’ ,’ !

    +’ !

    (%’ +’%(’,!)%! ,(%

    +( ,’ +( ) %)+)%,!)%! ,%’

    + ,! (+ ! (

    “末同首合十”的速算方法是：先用十位数相乘的积加上一

    个个位数，所得的结果作为积的前两位数，个位数的平方作为积

    的后两位数，如果个位数平方不满十，积的十位上用“”占位。

    如 %( +(%(,)%! ,

    +’ ,-

    +’ -

    (% (+(’%,%! ,(

    +’ , (

    · ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! !

    %% !(%’%’) ( ! ( +! +

    那么速算方法的根据又是什么呢？

    “首同末合十”是这样推导出来的：

    设两个两位数的十位数是, ，个位数分别是-和. ，而且- (

    . !) ，这两个两位数相乘，可以写成：

    , (- ) , ( . )!) , , - , . (- .!) , , (- ( . )(- .!) , , (- .!, (, )’) (- .

    , (, )’) (- .表示用十位数乘以比它多)的数，再乘

    以) ，得到相乘的积有多少个百，再加上个位数的积，便是这

    两个两位数相乘的结果。

    “末同首合十”是这样推导出来的：

    设两个两位数的个位数都是. ，十位数分别是,和- ，而且,(- !) 。这两个两位数相乘可以写成：

    , ( . ) - ( . )!) , - , . - . ( . !) , - . (, (- )( . !) , - . ( . !(, - ( . )’) ( .

    ( , - ( . )’) ( . 表示用十位数相乘的积加上一个个位数，所得结果乘以) ，便是相乘的积有多少个百，再加上个位数的

    平方，就是这两个两位数相乘的结果。

    · ! · ! 数学·信息卷为什么小数点对齐才能相加减

    在计算加、减法时，都要相同计数单位才能相加减。在整数

    中，从右边起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位……因此，在计算整数加减法的竖式中，只要末位对齐，相同数

    位就对齐了，相同计数单位也就能相加减了。在小数中，小数点

    的左边是整数部分，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百

    位……，小数点右边是小数部分，第一位是十分位，第二位是百

    分位，第三位是千分位……在计算小数加、减法的竖式中，只要

    小数点对齐，相同数位就对齐了，相同计数单位也就同样能相加

    减了，而不必考虑小数的末位是不是一定对齐，因为相加减的两

    个小数，小数的位数不一定相同，如! % ! (第一个加数两

    位小数，末位是百分位，第二个加数是三位小数，末位是千分

    位，如果末位对齐，个百分之一和(个千分之一怎么能相加

    呢？因此在小数加减中，小数点对齐才能相加减。

    为什么小数相乘

    不需要对齐小数点

    小数乘法是利用因数变化引起积的变化规律进行计算的。如

    ) ，先转化成整数乘法 ) ，第一个因数扩大 + +

    倍，第二个因数扩大 +倍，积扩大 + + +倍。 ) ,! ( 要

    求 )乘以 的积就要把 )乘以 的积! ( 缩小 + + +倍

    即! ( ，积! ( 的小数位数正好是两个因数 )和 小

    数位数之和。

    因此计算小数乘法，先按照整数乘法的法则算出积，再看因

    数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。

    · ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 在相乘过程中不需要对齐小数点。

    为什么除数是小数的除法

    要把除数转化成整数后再除

    除数是小数的除法，不容易直接看出商几，要根据被除数和

    除数扩大同数倍，商不变的性质，先移动除数的小数点，使它变

    成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移

    动几位(位数不够的，在被除数的末尾用“ !”补足) ；然后按照

    除数是整数的除法进行计算。如 %’ %’ +。

    如果利用商不变性质，把被除数变成整数，如 %’ %

    ( !) +在被除数的小数位数比除数多时，是可以的，但扩

    大同数倍后数目比较大，算起来比较麻烦。被除数的小数位数比

    除数少，就不容易直接看出商几了，如 %! %’ (。

    因此除数是小数的除法要把除数转化成整数后再除。

    为什么“!”不能作除数

    在四则计算中，减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运

    算。

    为什么不能用“!”作除数？我们可以分两种情况加以说明。

    一种情况是：当除数是“!” ，而被除数不是“!” ，如,!，’ (!， ( !!等。那就是要求出与“!”相乘的积不等于“!”

    的“商”来，!-？),，!-？)’ (，!-？) ( !。因为，任何

    数与“!”相乘的积都是“!” ，所以，在这种情况下，商是不存

    在的，除法计算没有结果。

    另一种情况是：当除数是“!” ，而且被除数也是“!” ，如!

    !。那就是要求出与“!”相乘的积等于“!”的“商”来，!

    · ! · ! 数学·信息卷!？。因为，任何数与“”相乘的积都是“” ，所以，在这

    种情况下，不能得到一个确定的商，商可以是任何数，即商有无

    限多个。

    我们知道，规定一种运算，它的运算结果必须是存在的，而

    且应该是唯一确定的。但是，当除数为“”时，被除数不是

    “” ，商是不存在的；当除数为“”时，被除数也是“” ，商得

    不到一个确定的数。因此，必须明确规定“”不能作除数。

    因为有了“”不能作除数这条规定以后，在除法的基本性

    质中，被除数和除数同时乘以或除以相同的数(零除外) ，商不

    变。在分数的基本性质中，一个分数的分子和分母同时乘以或除

    以相同的数(零除外) ，分数的大小不变。在比的基本性质中，比的前项和后项同时乘以或者同时除以相同的数(零除外) ，比

    值不变。 “零除外”这三个字在完整表述除法、分数、比的基本

    性质时不能丢。

    由此说明，在除法里， “”不能作除数；对于分数来说，就

    是分母不能是“” ；对于比来说，就是比的后项不能是“” 。

    当然，应该强调的是，除法中的除数、分数中的分母、比的

    后项这三者不是一回事。 “比” 、 “分数”和“除法”之间尽管有

    着上述的一些联系，但它们毕竟是三个不同的概念。 “比”是指

    两个数(或量)的倍数关系， “分数”是一个数， “除法”是一种

    运算。

    总之， “”不能作除数的这一规定是有根据的，也是十分重

    要的，希望大家在理解的基础上能正确地进行应用。

    求积的近似值和

    商的近似值有什么不同

    求积的近似值时，先按小数乘以一般计算方法得出完整的

    · ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 积，再按要求用四舍五入法求出积的近似值。如! % !

    ( ) ! (保留两位小数) 。

    求商的近似值，只要除到比要求保留小数位数多一位，根据

    这一位用四舍五入法求出商的近似值。如 ) +,( )! ! )(保

    留两位小数) 。

    为什么两数相除(除数不

    为零)不会得到无限不循环小数

    在两数相除时，因为余数重复出现，所以商就会重复出现，是一个循环小数。如，) - +, 在这个除法里，因为余数重复

    出现(和-，所以商就会重复出现和’。因此，) - +, .) ( ……

    在有余数除法中，余数一定要比除数小，比如除数是 ，余数可能是、、(、!、)、+、’、-、、 ，因此在相除过程

    中，余数一定会有重复出现的情况，所以商一定不会得到无限不

    循环小数。商一定是无限循环小数或者是有限小数。

    怎样把循环小数化为分数

    因为

    . …….

    ·

    . …….

    · ·

    . …….

    ·

    ·

    所以纯循环小数

    ·

    、

    · ·

    、

    ·

    ·……化成分数分别是

    、

    、

    ……

    · ! ! · 数学·信息卷纯循环小数分数：

    例如，把!

    ·

    、! %

    · ·

    化成分数。

    方法：!

    ·

    ! ……

    ! ……(

    !

    ·

    (’)(’)

    ! %

    · ·

    ! % %……

    ! !

    · ·

    ! % %……

    ! !

    · ·

    ( %

    ) )( %’ %) )

    方法：!

    ·

    ( !’ ……!

    ·

    (’! ……

    !

    ·

    +!

    ·

    )! %

    · ·

    ( ! !’ % % %……! %

    · ·

    (’! % %……

    ! %

    · ·

    )’ %

    ,! %

    · ·

    %) )

    从上面的例题可以得出：

    纯循环小数可以化成一个分数，这个分数的分子就是一个循

    环节里的数字所组成的数，分母的各位数字都是)，)的个数和

    一个循环节的位数相同。

    混循环小数化分数：

    · ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 例如：把!

    ·

    、! %

    ·!

    ·

    化成分数。

    方法’：!

    ·

    (! ……

    (! )! ! ……

    (! )! ……’

    !

    (

    !)

    !

    (

    !)

    !()

    !

    (’ !+)

    !

    ( +

    ! ( %

    !! % !

    ·

    ·

    (! % ! ! ……

    (! %)! ! ! ! ! ……

    (! %)! ! ! ……’

    !

    (%

    !)

    !

    (%

    !)

    !

    (% )

    !

    (%’ ! !+%)

    !

    (% ! +%

    ! (% ! , !

    (’

    - -

    方法.：!

    ·

    ! !( ……(’)!

    ·

    !( ……(.)

    · ! · ! 数学·信息卷(!)得 %

    ·

    +

    , %

    ·

    ) +)

    % +

    ·)

    ·

    (! ) % ) ) )……(!)

    % +

    ·)

    ·

    (! % ) ) )……

    得： % +

    ·)

    ·

    ) -

    . % +

    ·)

    ·

    )+) ) -) ) !

    从上面例题可以得出：

    混循环小数可以化成一个分数，这个分数的分子就是小数点

    右边的第一个数字到第一个循环节末位的数字所组成的数，减去

    不循环数字所组成的数，所得的差。分数的分母是数字)后面带

    数字所组成的数，其中)的个数等于循环节的位数，的个数

    等于不循环部分的位数。

    无限小数、无限循

    环小数和!有什么区别

    在小数除法中，有时能够除尽，也就是说，得到的商的小数

    位数是有限的，例如! % -0 % + % ；有时也遇到除不尽的情

    况。例如，计算! 0+在这个除法里，因为余数重复出现!，所

    以商就重复出现+，总也除不尽。因此! 0+ % + + +……这样除

    得的商的位数是无限的，而且也是按照十进位制的位值原则写成

    的数，这样的数也叫做小数。

    小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。小数部分的

    位数是无限的小数，叫做无限小数。无限小数有两种情况：一种

    是循环小数，一种是无限不循环小数，也叫无理数。

    · ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字

    不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。循环小数的小数部

    分中，依次不断重复出现的数字叫做循环节。

    例如，! ……是循环小数，是它的一个循环节；

    % ……是循环小数， 是它的一个循环节；

    为了书写方便，一个循环小数只写出不循环部分和第一个循

    环节，并在这个循环节的最左和最右的数字上面各记一个点，这

    个点叫做循环点。例如：! ……记作!

    ·； % ……记作

    %

    · ·。

    循环节从小数点后的第一位就开始的循环小数，叫做纯循环

    小数。小数点后面有一位或几位数字不循环的循环小数，叫做混

    循环小数。例如，!

    ·

    ，

    · ·

    ，’ %

    ·

    (

    ·

    都是纯循环小数； %

    · ·

    ，! ! )

    · ·

    都是混循环小数。! (圆周率)是一个无限不循环小数，到% 年已有人利用

    巨型电子计算机把!的值算到小数点以后的+ ) 亿位。

    什么是准确数和近似数

    人们在计数和计算过程中，有时得到的是与实际数值完全符

    合的数，这种数叫做准确数。例如一班有学生 )人，’,(-，这里的“ )” 、 “”都是准确数。有时得到的是与实际数值大体

    符合，比较接近真实数值的数，这样的数叫做近似数。例如我们

    在测量物体的长度、重量时，由于测量工具的限制，必然会产生

    误差，所得的结果都是近似数。例如用最小刻度“厘米”的尺去

    量课桌面的长，知道它的长不足+ (厘米；用最小刻度“毫米”

    · ! · ! 数学·信息卷的尺去量课桌面的长，知道它的长不足! 毫米。这里的“! ” 、“! ”都是近似数。

    我们对大的数目在进行统计时，一般也只需要用它的近似数

    来表示。例如平常说一个城市有! %万人，一个钢铁厂去年产钢

    %万吨。这里的“! %万” 、 “ %万”都是近似数。

    我们在进行计算时也常常遇到近似数。例如：’!% (，)!% ( ! ) +，这里的“% (” 、 “% ( ! ) +”都是近似数。

    求近似数的方法，一般有以下三种。

    四舍五入法。这是最常用的求近似数的方法。用这种方法求

    一个数的近似数，主要是看它省略的尾数最高位上的数是小于

    “!”的，就把尾数舍去(称为四舍) ，这样得到的近似值叫不足

    近似值；如果省略的尾数最高位上的数大于或等于“!” ，把尾数

    略去后，要向前一位进一(称为五入) ，这样得到的近似值叫过

    剩近似值。例如),’ ( + ! )……用四舍五入法保留两位小

    数得 )!’ ( +(四舍) ，用四舍五入法保留三位小数得 )!’ ( +(五入) 。

    进一法。在解决实际问题中，有时把一个数的尾数省略后，不管尾数最高位上的数是几，都要向前一位进。例如把+ % %千

    克粮食装进麻袋，如果每条麻袋最多装) !千克，至少需要多少

    条麻袋？+ % %) !,! (……就是说：+ % %千克粮食装!条麻装

    后，还剩 !千克，这 !千克还需要一条麻袋，所以一共需要-

    条麻袋。即+ % %) !,! (……!-(条) 。

    去尾法。在解决实际问题中，有时把一个数的尾数省略后，不管尾数最高位上的数得几，都不需要向它的前一位进。例

    如，每条床单需要 ( 米布，有- %米布，可以做多少条床单？

    - % ( , ( ! ) + ……或- % ( 商 余 ( ，这说明- %米

    布做了 条床单后，还剩下 ( 米，这余下的 ( 米不够做一

    条床单，所以只能做 条，这时要用去尾法。就是：- % ( ,· ! · 新编十万个为什么 ! % ! ……!! (条) 。

    什么叫有效数字

    一个近似数，如果准确数与近似数的差不超过它最末一位的

    半个单位，那么，从左边第一个不是零的数字起，到右边取得的

    最后一个数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字。例

    如，近似数 有两个有效数字和’；近似数 (有三个有

    效数字，即、’、(。

    当一个近似数是整十、整百、整千……的数时，通常写成)

    ( + (，+是整数的形式) 。这样根据有效数字就可以

    确定近似数的精确度。例如，用四舍五入法把! ( ( 分别

    精确到个位：! ( ( !! ( (,! ( ( ( -(表示有’个有效

    数字)

    精确到十位：! ( ( !! ( (,! ( ( -(表示有-个有效

    数字)

    精确到百位：! ( ( !! ( (,! ( -(表示有!个有效数

    字)

    为什么( 和( (

    有时相等有时又不等

    当( 和( (是准确数时，在小数末尾添上或去掉(，小

    数的大小不变。如铅笔单价( 元，( 元表示角；铅笔单价

    ( (元，( (元也表示角，所以( 和( (相等。

    当( 和( (是近似数时，它们就不相等了。因为近似数

    ( 取值范围是( ( 到( 之间(也就是从( ( 到( ，保

    留一位小数，约等于( ) ，近似数( (的取值范围是( ( . 到

    · ! · 数学·信息卷! ! 之间(也就是从! ! % 到! ! 保留两位小数，约等于! ! ) ，两者的精确度(近似数接近准确数的程度)不一样，保

    留一位小数，表示精确到十分之一，保留两位小数，表示精确到

    百分之一。例如，! ( )! %……如果保留一位小数，! ( )!! ；如果保留两位小数，! ( )!! !，显

    然! !比! 更接近准确数。所以，近似数小数末尾不能随意

    添上!或去掉!，近似数! 和! !是不相等的。

    为什么异分母

    分数不能直接相加减

    计算整数、小数、分数加减法时，都要相同单位才能相加

    减。在计算整数加减法的竖式中，只要相同数位对齐，就可以几

    个一和几个一相加减，几个十和几个十相加减……在计算小数加

    减法的竖式中，只要小数点对齐，就可以几个十分这一和几个十

    分之一相加减，几个百分之一和几个百分之一相加减……

    在分数中，分母表示把单位“”平均分成多少份；分子表

    示有这样的多少份。把单位“”平均分成若干份，表示其中一

    份的数叫做分数单位，如

    的分数单位是

    。两个同分母分数表

    示分数单位相同，如)

    +与,+的分数单位都是

    +，)

    +与,+相加，只

    要)个

    +加上,个

    +，得个

    +是

    +。即)

    +-,+)-,+

    +。而

    两个异分母分数表示分数单位不同，如

    %与

    )，

    %的分数单位

    是

    %，

    )的分数单位是

    )(

    %与

    )的每份大小不同) ，

    %与

    )相

    加，分数单位不相同，不能直接相加，正如整、小数加减法中，几个十和几个一不能相加，几个十分之一和百分之一不能相加一

    · ! · 新编十万个为什么 样。只有经过通分，转化成同分母分数，再按照同分母分数加减

    法的法则进行计算。如!

    %% (% ) %) (。

    怎样比较异分母分数大小

    异分母分数，分母不相同，分数单位不同，一般来说，不能

    直接比较大小，必须经过通分，化成同分母分数，再比较大小。

    例如比较

    +和

    (的大小。先通分，

    +’ %

    !，

    (’ , !，- %

    !! , !，.

    +!

    (。除此以外，还可以用下面的方法进行比较大小。

    (%)化成同分子分数，再比较大小。

    例如，把下面分数按从小到大顺序排列起来。

    % ,%

    %

    %

    %

    )

    ,) )

    ( ,

    这五个分数的分母都不相同，要想把它们变成同分母分数比

    较麻烦，再看它们的分子，这五个数虽然不同，但要把它们变成

    相同的数比变分母方便一些。这是因为( ,正好是 ,、% 、% 、% ,这四个数的倍数，利用分数的基本性质，可以将上面的五个

    分数变为分子都是( ,的分数：

    % ,%% ,(

    % (’( ,% , ；%

    %%

    %( , ；%

    )’% !

    )!’( , ； ,) )’

    ,)) ))’( , ；( ,

    - ( ,% , ( , ( , ( , ( ,

    .% ,% ,) )( , %

    % %

    )

    先和“%”比较大小。

    · ! · 数学·信息卷例如，比较! ! ! ! ! ! 和

    的大小。

    这两个分数化成分母相同或分子相同都不太简便，把这两个

    分数和“”比，! ! ! ! ! ! 比小 ! ! ! ，

    比小

    。

    % ! ! ! !

    %! ! ! ! ! !

    先和!比较大小。

    例如，比较

    和( ))的大小。

    的分子不是分母的一半，

    !，( ))的分子超过分母的一半，( ))!!

    %

    ( ))

    为什么不用通分能很快

    算出一些复杂的分数加减法

    计算异分母分数加减法，必须先通分，再按照同分母分数加

    减法进行计算。例如，

    (+! ,-

    .! ,+! ,- (! ,.+-(! , .,这样解法当然是对的，如果我们对通分的过程进行研究，发

    现两个异分母分数通分后计算出结果，也可以还原回去把结果折

    成两个异分母分数的减法，我们把这种方法叫“拆分” 。例如，

    -

    (.(-

    (.

    (.! ,反回去，! ,.

    (.

    -

    (

    这样，上面这道题的计算过程变成：

    · ! · 新编十万个为什么 !

    !

    %!

    (!

    !

    !

    !

    (%

    像这样在计算分数加减法的时候，先将其中的一些分数作适

    当的拆分，使得有一部分数可以互相抵消，而使计算简便的方

    法，我们叫做“裂项法” 。

    例如计算：!! ) ) !! ) ) !! ) ) ! ) ) + !! ) ) +! ) ) !! ) )

    分析：运用裂项法不难发现!! ) ) !! ) ) ( !! ) ) ! !! ) ) !! ) ) ! ) ) +( !! ) ) !! ) ) +!! ) ) +! ) )( !! ) ) + !! ) )

    解： !! ) ) !! ) ) !! ) ) ! ) ) + !! ) ) +! ) ) !! ) )

    ( !! ) ) ! !! ) ) !! ) ) !! ) ) + !! ) ) + !! ) ) !! ) )

    ( !! ) ) !

    这道题如果用通分的方法计算，工作量是很大的，也不容易

    算对，有一些分数求和的问题，用通分的方法几乎是算不出来

    的，而用裂项法却可以轻而易举地求出结果。

    一般来说，对任意的一个自然数, ，都有：!

    , (, !) (!

    , !

    , !

    又如计算：!

    !

    -!! !

    %!

    + %!

    !

    -!

    . !) %

    分析：每个分数的分子是!，分母分别可以写成!，

    · ! · ! 数学·信息卷!，!，，%，%，’，’(， ，即每个分母

    都可以分解为两个连续自然数的积，于是每个分数都可拆成两个

    分数的差：)

    +, ))+,)-)

    +)

    %, )

    +!,)

    +-)!)) +, )!,)!-)

    )

    ( , )

    ,)

    (-))

    解：原式, ))+. )

    +!. )!. )

    . )

    %. )

    %. )

    . )

    (. )

    ,)-)

    +.)

    +-)!.)!-)

    .)

    -)

    .)

    -)

    %.)

    %-)

    .)

    -)

    .)

    -)

    (.)

    (-))

    ,)-)) ,

    繁分数和连分数有什么区别

    一个分数的分子或分母是分数，或者分子和分母都是分数，这样的分数(或式子) ，通常叫做繁分数(或繁分式) 。例如)!

    +!

    、)

    +)-)

    ，繁分数中有一条较长的分数线，叫做

    主分数线。主分数线把繁分数分成分子、分母两个部分。

    繁分数的化简一般采用两种方法：

    · ! ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 一种是把繁分数的分子和分母分别计算出来，再用分子部分

    除以分母部分。例如：!

    !%

    !

    (!

    )!’

    另一种是根据除法中商不变的性质，把繁分数的分子部分和

    分母部分同时乘以(或除以)一个不为零的数，进行化简。例

    如：!

    !%

    (!

    ))

    (!%

    ))

    %’

    形如! !! !! !!!

    这样的繁分数叫做连分数。

    连分数的化简与简分数的化简基本相同，只要一步一步地把

    分母计算出来，就可以化简成一般的分数。例如：! !! !! !!!

    ! !! !!!

    ! !! !!!

    ! !! !

    · ! · ! 数学·信息卷!

    %!

    %!%

    !%

    等式和方程式有什么区别

    用等号“!”连接的式子，叫做等式。

    方程式也是等式，是含有未知数的等式。如(!，) ( ! +，( ,!) -，( . !-等

    使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。例如：

    ( !是方程( !的解。

    ( ! )是方程) ( ! +的解。

    求方程解的过程叫做解方程。

    在小学解简易方程，是根据加、减之间的关系，乘、除之间

    的关系。例如：

    解方程 ( ,!

    解： (被减数!减数差)

    ( !

    ( !

    又如解方程- ( !

    解： (因数!积.另一个因数)

    ( !.-

    ( !

    什么叫综合法和分析法

    解答两步以上复合应用题时，由于出发点的不同，思想的方

    · ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 法有综合法和分析法两种。

    综合法是从已知条件出发，根据数量关系，先选择两个已知

    条件，提出可以解决和需要解决的问题，然后把这个问题作为已

    知，再与另一个已知条件搭配，提出新的问题，这样逐步推导，直到应用题的问题得到解决为止。

    例如，一个服装厂计划做上衣! 件，前天每天做!

    件，以后提高工作效率，每天做! % 件，完成计划共需要多少

    天？

    用综合法解题思路如下：

    已经做了天，每天做! 件，由此可以求出已经做的件

    数。

    已知要做! 件和已经做的件数，可以求出还要做的件数。

    已知还要做的件数和以后每天做! % 件，可以求出还要做的

    天数。

    已知做了天和还要做的天数，可以求出完成计划共需要的

    天数。

    分析法是以应用题的最后问题入手，根据数量关系，找出解

    决这个问题所需要两个条件，如果这两个条件中有一个不知道或

    者两个都不知道，再找出求这一个或两个未知条件所需要的条

    件。这样逐步推导，直到所需要的条件都是已知为止。

    上例用分析法解题思路如下：

    要求共需多少天，需要知道先做的天数(天)和还要做的

    天数(未知) 。

    要求还要做的天数，需要知道还要做的件数(已知)和以后

    每天做的件数(! % 件) 。

    要求还要做的件数，需要知道计划做的件数(! 件)和

    已经做的件数(未知) 。

    要求已经做的件数，需要知道已经做的天数(天)和每天

    · ! · ! 数学·信息卷做的件数(! 件) 。

    怎样求等差奇数列的和

    等差数列求和的公式是： ( !% )’

    (

    怎样求等差奇数列的和？有没有一些特殊规律呢？

    请看下面奇数列求和。!)! (!%)+)( (!%%),) (!%%%-)! .)+ (

    因此，奇数列的和 ) (

    这一求和公式，可以解决一些数学问题。例如：

    有一串数，!；!

    (，(

    (，!

    (；!

    ，(

    ，

    ，(

    ，!

    ；!

    +，(

    +，

    +，+

    +，

    +，(

    +，!

    +……

    求(!)-! 是第几个分数？ (第+ 个分数是几分之几？

    可以这样想(!)我们把分母相同的分数叫做一组，组号与

    分母相同，各组分数个数有下列规律：

    第一组：!个

    第二组：个

    第三组：个……

    所以，分母为的那一组分数个数为( 0!。

    从中还可以看到：-! 位于第! 组的第-个和倒数第-个位

    置上，由于第! 组共有分数(’! 0!)! ,(个) ，倒数第-个

    · ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 相当于正数第! %! (个) 。

    前个组共有分数!’’(’…… )% !(个)所以+! ,位于

    这串数的第 !’+% (个)位置上和第 !’! % -(个)位置

    上。

    ( ))由于- , ,%) , )，) , ) 又等于自!开始的连续) ,个奇数

    的和。所以第- , ,个分数位于第) ,组的最后一个位置上，应为!) ,。

    什么情况下. 0%. 0

    . 0是表示两个数的积，. 0表示两个数的差。. 0%.

    0表示两个数的积与两个数的差相等。这可能吗？

    在整数范围内，两个数相乘，除,和!外，会越乘越大，如

    ! -%! ) -，! ) -大于 !、大于-；+ ,) %! ! ,，! ! ,大于

    + ,、大于) 。而两个数相减，就会越减越小。如 !-%) +，) +

    小于 !；+ ,) %- +，- +小于+ ,。可见在整数范围内， !-! !-，+ ,) !+ ,) ，所以. 0 !. 0 。

    但是，我们还知道，在分数范围内，确实存在着两个数相

    乘，会越乘越小。如!)!)%!

    -，!

    -小于!)；!

    -%!

    -，!

    -小

    于!

    ，也小于

    -。这与两个数相减，越减越小的发展趋向是一致

    的。但是，!)!)%,，!

    不够减

    -，可见在分数范围内，!)!)!!)!)，!

    -!!

    -那么，能不能说在分数范围内，.

    0也不等于. 0呢？让我们再来研究下面这几道题。!!)%!)，!!)%!)；

    · ! · 数学·信息卷!

    !

    %!

    ，!

    !

    %!

    ；!

    !

    (%!! ，!

    !

    (%!! ；!

    (!)%!

    ，!

    (’!)%!

    ；……!

    + !

    + !% !

    ( , + ，!

    +!

    + !% !

    ( , + ；……!

    , , !! % !

    , , ，!

    , ,’ !! % !

    , , ；

    通过这些题又说明了在分数范围内，确实有两个数的积与这

    两个数的差相等的情况，即：-.%-’. 。当然，这是有条件

    的。你仔细观察一下，这两个分数的分母之间的差与分子是什么

    关系？你能发现这样的规律：分母之间的相差数都是!，它们的

    分子也是!，这样的两个分数相乘的积与相减的差是相等的。

    你能否从这个规律中又得到新的启示，并能列举出另外一些

    - . %-.的题目来。

    )%(! )，

    )%(! )；

    +

    ,%(

    ，

    +’

    ,%! (

    ；

    )

    %,( ， )’

    %,( ；

    +! %,+ ，

    +’! %,+ ；

    (

    +(! !%!

    + +， (

    +’(! !%!

    + +；

    (

    ,(! %! ! ! +， (

    ,’(! %! ! ! +；

    · ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! !

    !

    %’ !

    ( )， !

    !

    %’ !

    ( )；……

    什么样的两个数相乘的积与这两个数相减的差相等的规律，你一定完全掌握了。

    数“+ ”

    数+在数学、物理学、天文学和其他科学部门中都有很大的

    作用。下面举的一些问题，在进行数学考察的时候必须用到这个

    数：

    气压公式(气压随高度的不同而变化) ，欧拉公式，物体冷却的规律，放射性衰变和地球的年龄，空气中摆锤的摆动，计算火箭速度的齐奥尔科夫斯基公式，线圈中的电磁振荡，细胞的增殖，……

    这类问题举不胜举。

    在高等数学上起着很大的作用，也许，所起的作用并不小于

    著名的数! 。数+是一个无理数，约为’ , - %……它不能用有限

    位的数字正确地表示出来，而只能利用下面的级数

    .

    .

    ·.

    · · %.

    · · % · ).……

    计算它的近似值，显然可以达到任何准确程度。

    另外：

    · ! · ! 数学·信息卷(!!

    )

    这式子当无限地增大的时候的极限就是 。把当做对数

    的底有很多好处，这种对数表叫“自然对数”表，而且在科学和

    技术上得到广泛的应用。

    数常常出现在完全预料不到的地方。例如，看这么一个题

    目：

    已知数% ，把它分若干部分，如果各部分的乘积要最大，应

    该怎样分法？

    我们已经知道，诸数的和不变的时候，要使它们的乘积最

    大，必须各数相等。显然，数%必须分成相等的若干部分。可是

    究竟分成几部分呢？分做两部分、三部分、十部分吗？用高等数

    学的方法可以证明，当分成的每一部分和!最接近的时候，乘积

    就是最大。

    例如，! 必须分做这么多的相等部分，使得各部分尽可能

    地接近于’ ( ) ! ……要求这些部分的份数，应该求商。!

    ( ) ! ……+, ( - ) ……

    因为把一个数分成, ( - ) 个相等的部分是说不通的，所以不

    得不把商数取最接近的整数.。因此，我们可以得出! 的各部

    分的最大乘积，如果各部分都等于!

    .，就是’ ( 的话，显然

    (’ ( ) .+, 0 ( - !(!

    ,) ,+, ) ( ,!(!

    ) +,!是超越数! ) -年琼斯第一次用记号!来表示圆周率，!取自希腊语

    “圆周”的第一个字母。后来由于欧拉在《无穷分析导论》 (! ) .

    · ! · 新编十万个为什么 年)中采用该符号而得以普及。! !年，兰伯特证明了!为无

    理数，! %年，林德曼证明了!是超越数。

    超越数就是，对于数，如果不存在这样一个整系数多项

    式( ( ) ，使是方程( ( ))的一个根，则称是超越数。!的计算和理论研究反映了一个民族的数学水平，对于古代

    人民来说，!的计算是一件复杂繁重的工作。约公元前% + 年，阿基米德的结果相当于, - ! +；约! . 年托勒密，, - ! + ! . % ；

    + 年，祖冲之，, - ! + ! . %；由此可见，在古代，我国的伟大数

    学家祖冲之贡献卓杰。

    随着时间的推移，社会不断发展，!的计算成果已达到了相

    当的程度，摘要如下：

    约! ! 年，鲁道夫，精确到小数点后第, .位；! , 年，格林贝尔格，, 位；! 年，夏普，利用无穷级数，精确到小数点后第 !位；! 年，梅钦，利用他自己给出的一种级数，精确到小数

    点后第! 位；! + +年，达瑟，% 位；! ,年，香克斯， 位；! + 年，弗格森、伦奇， 位；! + 年，马利兰德，利用电子计算机，% , 位；! 年，吉劳及其合作者，. 万位；! 年，美国，利用巨型电脑，% , 万位。

    什么是最小数原理

    最小数原理是一个极为简单、极为重要而又易被人们忽视的

    原理。

    一班学生，必有身高最小的学生。一筐苹果，必有最大的苹

    · ! · ! 数学·信息卷果。这个事实如此的明显，甚至是简单到了不必一提的地步。其

    实，这就是最小数原理的具体例子。

    最小数原理：设!是全体自然数组成的集合，是!的一

    个非空子集，则中必有最小数。

    该原理对于是整数集、有理数集或实数集的有限非空子

    集，结论又是明显的，因此还有如下的原理。

    设%是全体实数组成的集合，是%的有限非空子集，则中必有最小数。

    设%是全体实数组成的集合，是%的有限非空子集，则中必有最大数。

    最小数原理虽然十分简单，但它说明了在集合中存在着最小

    数或最大数这样的事实，因此在一些涉及到存在性的命题中，这

    个原理大有用武之地。在国内外数学竞赛中应用这个原理的题目

    也屡见不鲜。下面给出一道例题，可见原理在解题中的作用。

    平面上有(个点，它们不全在一条直线上，证明一定有一条

    恰好通过其中的两个点的直线。

    证：过任意两点连线为)，对每一条直线)，必有线外的

    点，)外的点到)的距离为+ ，) 。不难想象，+ ，)

    的个数是有限个的，由最小数原理，必有一个最小的距离+

    ,， ,)-+ ,。下面证明了) , 上恰好有二个点。反证，假设) .上有个给定的 、、 ，点 ,到) ,的垂线垂足记为0， 、、 至少有二点在0的同侧(或一点与0重合，一边一

    点) ，并设 靠0较近些，此时连 , 这条线为) ，则有+

    、 )! ,， ,) ，这与+ , 最小矛盾。(其它情况同理可

    证) 。

    此题看来没什么出奇的地方，证明也不难。但在人们没有注

    意最小数原理用于证明此题时，该题曾是一道“难题” ，好长时

    间得不到证明。而用最小数原理证明这个题，又显得该题如此容

    · ! · 新编十万个为什么 易。可见最小数原理的作用是很大的，值得我们特别重视。

    什么是孪生素数

    孪生素数是指两个相差为!的素数对。例如和， 和

    ， % 和 % 等等。孪生素数又称为双生素数。

    (年，数学家波林那克猜想：孪生素数有无穷多个。这

    就是所谓的“孪生素数猜想” 。我国数学家曾对证明这一猜想作

    了许多贡献。尤其是 ( ) 年陈景润证明了：存在无穷多个素数

    ，使得!为不超过!个素数之积。这一结论十分接近孪生

    素数猜想的解，构成“筛法”理论光辉的一顶点。 ( ) ,年，威

    廉斯和察恩克发现了当时所知的最大的孪生素数为) ,- , (.。

    ( ) (年，伯莱发现了目前所知的最大的孪生素数对为! ( )-! ,. 。 ( !年月，美国新泽西州的环球计算机服务公司提供! % % %美元奖金，悬赏解决孪生素数猜想，曾经轰动一时。然

    而，至今仍没人领走这笔奖金。

    孪生素数猜想是哥德巴赫猜想的姊妹猜想，它的难度和解决

    哥德巴赫猜想的难度是等同的。数学家们认为，仅就目前的已知

    数学方法，要想解决这个难题几乎是不可能的。甚至有的数学家

    认为，到目前为止还看不出可以沿着什么途径，利用什么方法来

    解决它。

    什么是“亲和数”

    传说在公元前 % %多年，古希腊的克罗托那城中，毕达哥拉

    斯学派正在讨论“数对于万物的作用” ，一位学者问“在我们交

    朋友时，存在数的作用吗？ ”伟大的数学家毕达哥拉斯答到： “朋

    友是你灵魂的倩影，要像! ! %与! 一样亲密。 ”他的话使人感

    · ! ! · ! 数学·信息卷到蹊跷，接着他宣布：神默示我们，! ! 的全部真因子之和!

    % ! ! !% % 恰好等于! %，而! %

    的全部真因子之和!%( % !又恰好等于! ! ，它们是

    一对奇妙的“亲和数” 。毕达哥拉斯的妙喻，简直使学者们惊呆

    了，不过在此后的一段漫长的时间里，人们知道的亲和数就只有

    这一对。

    直到公元七世纪，在古老的巴格达城中，出现了一位伟大的

    博学者泰比特·伊本柯拉。他是医生、哲学家和天文学家，并且

    酷爱数学，他对亲和数的特性潜心思索，竟惊人地发现了一个求

    亲和数的公式。即) · ! ,-，. · ! , --， 0 · ! ! , --，这里,是大于的正整数，则当) 、.和为素数时，! , ) .和! ,

    是一对亲和数，同时给出了公式的证明，并验证当1!时，求

    得的亲和数就是! ! 和! %。然而令人惋惜的是泰比特·伊本柯

    拉并没有给出新的亲和数。

    又过了( 多年，法国数学家费尔马在 2 + 2年再度独立地

    证明了泰比特·伊本柯拉公式并且给出了第二对亲和数 ( ! 0 2和

    % 2。继而另一位数学大师笛卡尔在给一位朋友的信中又确切

    地给出了第三对亲和数0 + 2 + %和0 % + ( 2。这新的发现震动了

    数学界，吸引了许多数学家像寻宝一样投身于这场“寻数”的竞

    争。

    直至 ( 年，诞生在瑞士国土上的伟大数学奇才欧拉宣布：

    他一举求出如! 2 ! 和! 0 ! %， ! 和 2 %，2 ! + !和2 + 2等六十

    对亲和数(一说五十九对) ，使他在寻数竞争中独占鳌头。

    又过了一百多年，奇迹出现了， 2 2年，一位年仅十六岁

    的孩子竟正确地指出，前辈们丢掉了第二对较小的亲和数 %

    和 ! ，这戏剧性的发现使数学家们大为惊讶，据本世纪七十

    年代统计，人们已经找出一千二百多对亲和数，数学真是一个深

    不可测的海洋，它蕴藏着无穷无尽的奥妙。

    · ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 什么样的数能组成勾股数

    如果三个正整数合于勾股定理，那么就称这三个数为一组勾

    股数。!、、是最简单的一组勾股数，因为它们合于勾股定

    理：! % 。

    在中学数学里不仅涉及勾股定理及其逆定理的许多数学问题

    的解答要用到勾股数，不少涉及代数、立体几何、解析几何、三

    角函数的问题也需要用到勾股定理，所以奇妙的勾股数在许多问

    题中起到很大的作用。掌握一些勾股数的知识很有必要。!，，；，’ ，’ !；(， ， ；)， ，……

    观察这些勾股数组成的规律发现，第一个数是奇数，第二个

    数是第一个数的平方减’再除以。第三个数是第二个数加’，也就是第一个数的平方加再除以。

    结论：如果+是一个奇数，且+ !!，那么

    + 、+ ,’

    、+ %’

    就是一组勾股数。

    证明：-+ %(+ ,’

    ) + %+ , + %’

    (+ %’

    )

    .+ 、+ ,’

    、+ %’

    是一组勾股数。

    这样，我们任意给出一个奇数’、’ !……同学们就可写出

    各组勾股数来。

    又如简单的勾股数：

    ，!，；，0，’ ；0，’ ，’ (；’ ， ， ……

    观察这些勾股数组成的规律发现，第一个数是偶数，第二个

    数是第一个数的一半的平方减’，第三个数是第一个数一半的平

    方加’。

    结论：如果1是一个偶数，且1!，那么，· ! · 数学·信息卷!， (!

    ) ， (!

    ) %，就是一组勾股数。

    证明：! %[(!

    ) ]! (%) ! %

    (! %(

    ( )

    [(!

    ) %]

    +!， (!

    ) ， (!

    ) %是一组勾股数。

    这样，任意给出一个偶数 ,、 ……读者就可以写出各组

    勾股数来。

    如果- 、. 、是一组勾股数，那么 0 - 、0 . 、0 也是勾股

    数。0为自然数且0!。

    这样，如果1、(、2是一组勾股数，运用上面的结论，就可

    得出、)、 ,；3、 、 2； 、 、 ,……都是勾股数。

    什么是默比乌斯带

    默比乌斯带是拓扑学家们的杰作之一。它使人感到古怪的

    是：只有一侧的曲面。

    它的制作是极为简单的。我们把一个双侧环带随意在一处剪

    开，然后扭转一半，即 ) , 4 。再粘合到一起来形成封闭的环，就得到了默比乌斯带。

    但如果描述为没有“另一侧” ，这是很难理解和想象的。但

    做起来却很容易，你可随意从一处开始涂色(不离开这面)最终

    你将会发现默比乌斯带都被你涂上了颜色，也就说明这的确是一

    个单侧面的带子。

    默比乌斯具有各种意想不到的性质，有人称之为“魔术般的

    变化” 。如果我们把默比乌斯带沿中线剪开，出乎意料地得到了

    一条双侧带子而不是两条。数学家对这种奇妙的现象解释为：一

    · ! · 新编十万个为什么 条默比乌斯带只有一条边，剪开却使它增加了第二条边与另一

    侧。如果把默比乌斯带沿三等分线剪开将使你又获新奇之感。剪

    刀将环绕纸带子走整整两圈，但只是一次连续的剪开，剪的结果

    是两条卷绕在一起的纸条，其中的一条是双侧纸圈，另一条则是

    新的默比乌斯带。你看，这真是一个奇妙的带子。

    什么是黄金分割矩形

    提起黄金分割知道的人很多。一点分两条线段的比大致是!：! ! ，这点就叫黄金分割点。但提起黄金分割矩形，知道的

    人就少多了。

    先说一下黄金分割矩形的几何做法，以正方形% (的边

    % 的中点)为圆心，)为半径画弧交% 延长线于一点，过

    点作 +!% 交(延长线于+，矩形% + (就是黄金分割矩

    形。满足% (：% ,!：! ! 。

    黄金分割矩形有一个不同寻常的性质，如果去掉图形中原来

    的正方形留下来的仍然是一个黄金分割矩形。

    黄金分割矩形是看上去令人十分舒服的图形之一。早在公元

    前-世纪，希腊的建筑家们就知道了它的协调平衡的性质，并应

    用到自己的设计中。雅典的巴特农神殿的“人字墙” ，几乎是一

    个极其准确的黄金分割矩形。

    黄金分割矩形也被大量地应用到现代建筑中，建筑师们说：

    “数学使人们生活变得舒适了。 ”

    黄金分割矩形也成为画家们的“几何消遣” ，我们在《圣杰

    罗姬》这幅达·芬奇未完成的油画中，看到了包围着圣杰罗姆躯

    体的一个黄金分割图形。

    一位艺术家声称：法国印象派画家舍勒特， “用黄金分割原

    理来画他的每一幅画” 。

    · ! · 数学·信息卷为什么直角三角形分割成全等三

    角形的个数不一定是完全平方数

    易知，任意三角形可分割成与原三角形相似的! 个全等的

    三角形(!为任意的正整数) 。

    直角三角形也不例外地可以分割成与原三角形相似的! 个

    全等的三角形。这样能否断言：一个直角三角形分割成全等三角

    形的个数必为完全平方数。

    如果那样，就显得太轻率了。你看，直角三角形斜边上的高

    把直角三角形割成两个相似的直角三角形。这就为非完全平方数

    的产生制造了机会。如果相似比是有理数，不妨设为

    (、

    为正整数) 。这样直角三角形% 就可分割成 个与原三角形

    相似的全等的小直角三角形。而直角三角形% (也可分割成

    个与原三角形相似的全等的小直角三角形。而这 ) 个

    小直角三角形又都是全等的，正整数+又未必是完全平方数，如

    当+ ), - ,时。从而可以确信：对于每个两平方数之和形

    式的+ ，存在可分割成+个全等三角形的直角三角形，而+可以

    不是完全平方数。

    为什么答案是错的

    某中学举行数学邀请赛，其中有这样一道题：

    “直角三角形的斜边% 长- . !，内切圆半径为 0 1 !，求

    其周长。 ”

    有两位要好的同学，如此解答。由圆外一点向圆引二切线，切线长相等，四边形2 3 (为正方形。则有( 2( 4 0 1 !

    · ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! ! %， %，() % + , -。

    %)’ . 0 1) 0 11 , -。周长为 ) %)). %).

    1 , -。

    得到了同一结果。当他们向数学老师汇报时，数学老师看了

    题和解答后，让这两位同学，一个剪一个半径为 0 1 , -的图纸

    片，另一个同学作一个斜边为 + , -的直角三角形，然后让他们

    按题设条件把圆放在三角形纸板上，两位同学惊奇的发现，无论

    怎样变化直角三角形的两条直角边，也容不下这个圆，这就是说

    答案错了。为什么答案是错的？他们去问数学老师。

    老师说： “这是著名的勾股容圆问题，我国古代数学家在这

    方面有许多贡献” 。接着老师给出解答。

    设 %2 ，3 ，! %，

    (2 )3 +又有(2 ) 0 1) )(3 ) 0 1) +

    解方程组有

    2 )3 +

    (2 ) 0 1) )(3 ) 0 1) !

    +

    4 2 54 + 2 ) 1+

    (54 +) )4646 1

    7 + +5 + + +%+

    所以方程组无实数解。

    “为什么是这样？ ”学生追问着。

    设直角三角形内切圆的半径为8 ，则有8

    ( .) 5

    )

    ( + , 9 : ) + : ; < 5 +)1( , 9 : ) : ; < 5)

    , 9 :) : ; < 最大值为

    所以8 最小1( 5)而1( 5)% 0 1

    这就是说，斜边上 + , -的直角三角形，内切圆半径，不可

    · ! · ((((((((((((( 数学·信息卷能为! %。同学解答错了的原因是只靠几何直观，而这种直

    观，有时是不能正确反映出事物的内在联系的。

    圆面积与圆周长的一种特殊关系

    我们知道，物体作匀速直线运动时，位移与所经过时间’

    的比，就是物体运动速度! ，即! (

    。

    如果物体作非匀速直线运动，设运动规律是(( ) ，从

    )到’ )!这段时间!内，物体位移!((’ )! )+

    ( ))与时间改变量!的比，就是这段时间内物体的平均速度! ，即! (!!(( )! )+( ))! 。当! )时，!!的极限值

    为’ )时刻的即时速度。

    一般情况下，对函数, (-)考虑上述相应的情形。即在- )

    处给出!-的改变量，函数改变量!.(, (- )!-)+, (- ))

    与!-的比!.!-(, (- !’ )!- ，当!-)时，!.!-的极限值为,(- )在- )点的导数。导数是微积分中最重要的概念之一。对各

    种函数求导已经形成一套完整的求导公式。例如， , (-)(- ，, 0 (-)( - +1 , 0 (-)表示, (-)的导数，即当!-)时， , 0

    (- )等于!.!-的极限值。仅就, (- )(- 2的导数, (- )(2 !情形

    给予简单证明，当!-!.( (- !- ) 2+- 2!- (2 - !2 - 。(!-)

    (!- ) 2，当!- )时，!-!.2 - !，即, 0 (- )(2 - !。没有学过微

    积分的读者，可从上面简单的叙述对微积分窥见一斑。

    导数的应用极广，而在很多其它学科里面对于某个问题求

    导，其导数都有明显的实际意义。例如，物体作功 3 的时间’

    · ! · 新编十万个为什么 %的函数 !!( )其导数 ! ( )就是功率。再如，电流通过

    导线横截面的电量为%% ( ) ，对时间的导数就是电流强度，即 % ( ) 。那么，在数学这门学科里面，导数除了有其几何

    意义(即在某点处的导数，就是在该点处的切线的斜率)之外，是否对某个具体问题，也有明显的意义呢？答：是的。圆面积与

    圆长的特殊关系是一个生动的例证。

    我们知道，圆面积’’( ( ) ，即圆面积是半径(的函数，具

    体的是’! ( )。如果对该函数求导，’ ( ( )(! ( )) !(( ))

    ! ( )) ! ( (注意，!为常量，求导时可以“提出来” ) 。其

    导数’ ( ( )) ! ( ，恰恰是圆的周长。

    还可以举出一个例子。球体积(( )是球半径(的函

    数，( ( )+

    ,! ( ,，其导数， ( ( )(+

    ,! ( ,) +

    , !( ( ,)

    + ! ( )。即，球体积关于其变量(求导，其导数是球的表面面积。

    为什么圆的周长的计算是极限问题

    我们知道，圆的周长是- ! .，其中.是圆的直径，所以，要计算圆的周长，关键是! ？中国古代数学家刘徽在《九章算

    术》中，创立了“割圆术”来计算! ，使用了极限思想。一个直

    径为.的圆。作内接正六边形，然后平分每个边所对的弧，作

    内接正十二边形，再平分，得到二十四边形、四十八边形等等。

    让第次分割后的正多边形的周长是- 。我们知道- 是可以计算

    的。但不论怎么分， - 是一个多边形的周长。刘徽说： “割之弥

    细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失

    矣。 ”也就是说，割的次数越多，即越大，则- 与圆周长-相

    差越小，到最后不能割了，它就是圆的周长。也就是说对数列

    { - } ，我们感兴趣的不是具体的- ，而是- 当增大时的变化趋

    · ! · ! 数学·信息卷势， ! 与!越来越接近。比如若!

    %，有! %%

    ， !

    ， !

    (， ! (……我们看到当越来越大时， ! 的变化趋势越来

    越接近于%。通过这种计算方法，刘徽得到了’ % ( % )!!!

    % ( % +的结果。在当时的情况下，处于世界领先地位。

    通过刘徽的割圆术，我们看到，对数列 { , } ，我们不仅要

    考虑到每一项, 是什么，而且更感兴趣的是当越来越大时，,

    的变化趋势。有很多问题都是要研究这种变化趋势的。也就是,

    逐渐接近的那个数是什么？我们把, 逐渐接近的数称为, 的极

    限。这样就发展起来了极限理论。为微积分找到了严密的理论基

    础。

    为什么两箱铁球一样重

    有两个完全相同的立方体包装箱。左边箱里装一个大铁球、直径刚好与箱子的高度相同。右边箱里装满许多小铁球。

    两箱铁球质量相同，那么，哪一个箱子重些呢？很显然应考

    虑两箱铁球的体积。

    设大立方体的体积为-，其内装球的体积为-球。小立方体

    的体积为- . ，其内装球的体积为- . 球

    显然-球

    - - . 球

    - .( . %，，’…… )

    即：- %球

    - %

    - 球

    -

    -球

    -

    ……- 球

    -

    -球

    -

    由等比定理有：

    - %球- 球-球……- 球

    - %- -……-

    -球

    -

    就有- %球- 球……- 球

    - -球

    -

    · ! · 新编十万个为什么 所以，! 球! 球……! % 球!球

    即：左图一个大球的体积等于右边几个小球的体积，故两箱

    铁球一样重。

    为什么五面体

    四面体可能等于五面体

    五面体和四面体的组合体，要想获得最少的面，完全可以想

    象，它们有一个面重合，这样就得到了’个面。面数

    还能否再减少些呢？这就决定于五面体和四面体的形状了。如果

    五面体是一个正四棱锥，四面体是一个正四面体，且正四棱锥的

    侧面能与正四面体的面重合，这时的组合体就是五面体。我们来

    证明一下这个问题。

    我们把正四面体的面+ , -与正四棱锥的侧面! . 重合，得

    到一个多面体，这个多面体有平面0 . 1、! 0 .、! . 2、! 2 、! 1 、! 0 1、2 . 等七个面，但仔细一观察发现 ! 0 .与 ! . 2

    共面，! 1 与! 2 共面，七个面再减少两个面，就只剩五个面

    了。

    平面! 0 .与! . 2共面也是不难证明的。

    在棱! .上取中点3，连结30、3!、32显然：!03、!23分别是二面角)! .)0与2 ! .)!的平面角，这样，只要证明!03!23 4 5 6 ，即证平面 ! 0 .与平面 ! . 2

    共面。

    若设棱长0 .7

    03中， 0 7 ，033 8

    7

    由余弦定理， 9 : ; !03033 )0

    03 · 3

    · ! · %%%%%%%%%%%%% 数学·信息卷!

    (!

    ) %(!

    )

    (!

    )·(!

    )!’

    则! + , , - . (’

    )!! + , , - .’

    在)0中， 0! ，)0!)0!!

    由余弦定理： , - . )0!) %)0 0

    ) · )0!

    (!

    ) %(!

    )

    (!

    )·(!

    )!’

    则)0! + , , - .’

    即证：0%)0!1 + , , - .’

    % + , , - .’

    !!

    同理，平面2 3 0与平面2 0也共面。

    怎样进行应用题验算

    检查应用题解答是否正确，可采用以下几种方法：

    第一，对求出的数量和应用题所反映的实际情况进行粗略的

    估计，如果计算结果同实际情况差不多，就有可能是正确的。例

    如， “五年级一班有男生 人，平均身高为’ 4 4 5 6厘米，有女生

    6人，总身高为 7 5 厘米，全班学生平均身高是多少厘米？ ”

    列式计算为：(’ 4 4 5 6% 7 5)8( %’ 6)!7 6 5 9(厘米) ，根据题意估计，全班学生平均身高应为’ 4 4 5 6厘米左右，然而计

    算结果为7 6 5 9厘米，显然很不符合实际情况，所得结果错误。

    第二，把求出的结果当作已知条件，代入原题，依据题意，· ! ! · 新编十万个为什么 %能否求出其中一个条件。例如， “美霞服装厂计划做! 套衣服，已经做了 % 天，平均每天做’ (套。剩下的要在) % 天内做完，平均每天应做多少套？ ”

    (! (+ % ),) % -’ !(套)

    验算时，把’ !套作为已知条件代入题目中，依据题意列式

    计算，看能否求出已知条件。!’ (+ % .’ !+) % -! (套)

    (! !+) % ),’ (- % (天)

    (! !+) % ), % -’ ((套)

    代入后所求结果与已知条件相符，原答案正确。

    第三，用不同解法检验。这种方法适用于有不同解法的应用

    题。如果有的题目只能用一种解法，可以通过不同的解题思路进

    行检验。

    第四，根据题目中总量与部分量的关系，或量的对应关系来

    检验原解是否正确。例如： “配制黑火药用的原料是火硝、硫磺

    和木炭。这三种原料重量的比是 0 ( 0 )。要配制这种黑火药 !

    千克，需要三种原料各多少千克？ ”

    .(.)-(

    火硝千克数： ! +

    ( - ( (千克)

    硫磺千克数： ! +(

    ( - !(千克)

    木炭千克数： ! +)

    ( -( (千克)

    验算： ( . !.( - ! (千克) ，三种原料的总千克数与

    火药的千克数相等。

    ( 0 ! 0 ( - 0 ( 0 )

    三种原料重量的比与已知条件相同，说明解答正确。

    · ! · ! 数学·信息卷列方程解应用题的关键是什么

    列方程解应用题的一般步骤是：

    弄清题意，找出未知数，并用表示；

    找出应用题中数量之间的相等关系，列方程；

    解方程；

    (%)检验，写出答案。

    其中找出应用题中数量之间的相等关系最关键，只有这样才

    能列出方程。

    例如：“小青买两节五号电池，付出 (元，找回了 )

    元。每节五号电池多少元？ ”

    这样想：付出的钱数两节电池的钱数+找回的钱数。

    从而列出方程： ( + )

    怎样利用“假设”

    的数学思想解答应用题

    有些应用题可将题中某个条件假设为与之相近的另一个条

    件，并从假设条件入手，分析数量关系，找出解题思路。

    例如： “学校买了%个篮球和,个足球，共花! ( ! 元，一

    个篮球比一个足球贵- )元，一个足球多少元？ ”

    可以这样想：假设把%个篮球换%个足球，可以少花- ).

    % ! (元) ，就可以找到(,%)个足球的总价是(! ( !

    ! )元，从而求出每个足球的单价是：

    (! ( ! ! )0(,%)

    +! 0!

    +! (元)

    · ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 篮球单价是：! %! % (元)

    如果把足球假设成篮球，思路也是一样。

    再举一道数学竞赛中的题目。

    “蜘蛛有条腿，蝴蝶有(条腿和)对翅膀，蝉有(条腿和!

    对翅膀。现在这三种小虫共) !只，共! 条腿和) +对翅膀。问

    蜘蛛、蝴蝶、蝉各多少只？ ”

    题中要求三个未知量。但是，蝴蝶与蝉每只的腿数相同，因

    此按每只腿的多少，可分为两类：条腿的蜘蛛和都是(条腿的

    蝴蝶与蝉。

    假设) !只都是蝴蝶与蝉，那么应有(,) !’! ) ((条)腿，比实际的总腿数少了! -! ) (’! (条) 。这是由于每只蜘蛛少

    算了)条腿，从而算出只蜘蛛，蝴蝶与蝉一共! 只。

    再根据翅膀数分别求出蝴蝶和蝉。假设! 只都是蝴蝶，那

    么应有翅膀),!) (对) ，这比实际翅膀总数多了) -) +’.

    (对) ，这是由于每只蝉多算了!对翅膀，从而算出蝉的只数。

    即 (! -! ) (-

    ! )’(只) (蜘蛛数)) !-’! (只) (蝴蝶和蝉共有数)

    ,! -) +)-!)

    .(只)! -.’0(只) (蝴蝶数)

    用不同的假设也可以如例求出蜘蛛、蝴蝶、蝉各多少只。

    怎样利用“转化”

    的数学思想解答应用题

    有些应用题，题里给出两个或两个以上未知数量的关系。要

    求这些未知数量，思考的时候，可以根据所给的条件，用一个未

    · ! · ! 数学·信息卷知数量转化为另一个未知数量，从而找到解题的方法。

    例如， “师徒二人合作一批零件，徒弟做了!小时，师傅做

    了小时，一共做了 %个零件。徒弟小时的工作量等于师傅

    %小时的工作量。师徒每小时各做多少个？ ”

    可以这样想：把师傅的工作量转化为徒弟的工作量。以徒弟

    每小时工作量作为份，师傅%小时的工作量相当于这样的

    份，小时里有’个%小时，相当于% (份徒弟每小时的工作量。

    从而得出：

    %)[!+%) ]

    , %(个) (徒弟每小时工作量)

    %+)%, ((个) (师傅每小时工作量)

    也可以这样想：以徒弟每小时工作量作为份，先看师傅

    小时工作量相当于这样的几份，再看师傅小时的工作量相当于

    这样的几份，从而得出徒弟每小时的工作量。即 %)[!+

    %) ]

    也可以以师傅每小时的工作量作为一份，把徒弟的工作量转

    化为师傅的工作量，从而得出师傅每小时的工作量。即

    %)[!+(%)) ]

    又如：“某农机场修理一批拖拉机，在责任制前每天只修

    台，实行责任制后，每天比原来多修%台。因此，这批拖拉机可

    以提前’天修好，这批拖拉机有多少台？ ”

    根据现有条件，不易直接求出这批拖拉机有多少台。把已知

    条件加以转化。

    天 台— — —!台

    天

    天 台— — —!台

    天

    责任制后比责任制前每台少用

    · ! · 新编十万个为什么 !

    !

    %! (天)

    因为这批拖拉机提前’天完成，从而求出这批拖拉机的总台

    数。

    ((!

    !

    )% )(台)

    怎样利用“对应”

    的数学思想解答应用题

    利用集合的元素和集合+元素之间的对应关系来分析应

    用题，找到其解题思路。

    例如，“洗衣机厂门市部上午卖出台洗衣机，下午卖出

    台洗衣机，下午比上午多收货款 , -元，每台洗衣机售价多少

    元？ ”

    这道题中下午比上午多卖出的台数，和下午比上午多收的钱

    数是对应关系。多卖出台，多收 , -元，即 , -元所对

    应的是台洗衣机，从而求出每台洗衣机的售价。

    再看下例：

    “一堆苹果，人平分剩!个，’人平分剩个，人平分剩

    个，.人平分剩’个，,人平分剩个。这堆苹果至少有多少

    个？ ”

    我们以苹果数为被除数，那么除数与余数的对应关系如下

    表：

    除数 . ,余数 !

    除数余数

    · ! · ! 数学·信息卷由表可见：除数与余数的差都是!，这就是说，被除数加!

    的和能分别被、、、%、整除。因此，先求出、、、%、的最小公倍数是 !， !(!) +(个)就是这堆苹果的至少

    个数。

    怎样用“点图”的

    思考方法解答应用题

    有些应用题的题意比较抽象，关系比较复杂，我们可以用

    “点图”表示它们之间的关系，不仅直观、形象，甚至能直接找

    到问题的答案。请看下例：

    “甲、乙、丙、丁与小强五名同学一起进行象棋比赛，每两

    人都要比赛一盘，到现在为止，甲已经赛了盘，乙赛了盘，丙赛了!盘，丁赛了盘。问小强已经赛了多少盘？ ”

    在分析这个问题时，先将五个人看成五个“点” ，两人比赛

    过，就用线段连结相应的两点，根据“甲已赛了盘” ，再依次

    根据“丁赛了盘” 、 “乙赛了盘” 、 “丙赛了!盘” ，画出图。

    然后可以得到答案：小强已经赛了!盘。

    怎样利用“倒推法”

    灵活巧妙地解决实际问题

    生活中有些实际问题，如果按照事情发展的过程，由先到后

    顺序思考，不易得到解决。如果换一个方向，用倒推法分析，有

    时倒能灵活巧妙地解决实际问题。现举一个例子：

    有一天，三个小朋友在图书馆相会。甲说：我每隔一天来一

    次。乙说：我每隔两天来一次。丙说：我每隔三天来一次。管理

    员告诉他们说：每逢星期三闭馆。三个小朋友说：如果预定来的

    · ! · 新编十万个为什么 !!!!!!!!!!!! 日子正好是闭馆日，那就次日来。从今天开始 ......