迷人的逻辑题

    [英]亚历克斯·贝洛斯 著

    胡小锐 译

    中信出版集团目录

    前言

    暖身趣味十题 你连11岁的孩子都不如吗？

    卷心菜、花心丈夫和斑马 有趣的逻辑问题

    暖身趣味十题 你是文字游戏的高手吗？

    绕着原子行走的人 错乱的几何问题

    暖身趣味十题 你连12岁的孩子都不如吗？

    鸡与数学 现实生活中的趣味问题

    暖身趣味十题 你是地理天才吗？

    我要栽9棵树，请你帮帮忙 小道具趣味问题

    暖身趣味十题 你连13岁的孩子都不如吗？

    纯粹的数字游戏 为纯粹主义者准备的问题

    答案

    题目出处

    致谢献给泽科前言

    我要介绍的所有问题都始于谢莉尔。

    这个女孩远算不上天真或单纯，反而常常令人头疼不已。

    但是，我总会情不自禁地想到她，因为她改变了我的人生历程。

    我要澄清一下，谢莉尔并不是一个真实的人，而是新加坡数学考试

    题中的主角。但正是因为谢莉尔激发了我的想象力，引导我去探索各种

    各样的趣味问题，本书才有机会与广大读者见面。

    接下来，你会遇到谢莉尔的生日问题，也会了解我和她之间发生的

    所有故事。但是，在正式欣赏我最喜爱的有趣的数学题之前，我们先做

    两道题暖暖身。

    请先看下图。找出图中数字的排列规则，在“？”处填上缺失的数

    字。注意，最后一个圆圈中的数字7是正确的。这个问题太有意思了，简直让人欲罢不能。而且，解答这道题不需

    要我们具备高等数学知识。面对这样的挑战，你肯定想一试身手。等你

    解开这道题(如果你真的会解)时，那种满足感一定会让你异常兴奋，大呼过瘾。20世纪日本著名趣味问题发明家芦原伸之(Nob

    Yoshigahara)认为这道题是他最优秀的作品。我将在前言的结尾公布它

    的正确答案，希望大家在看答案之前先自己试着解答一下。

    第二道题叫“火星上的运河”。下面这幅地图标出了这颗红色星球上

    新发现的城市和河流。请大家从最南端的T城市开始，沿着运河访问所

    有城市，但每个城市只能去一次。在回到起点之时，所经城市的名字可以连成一个英语句子吗？

    这道题是由多产的美国趣味问题发明家萨姆·劳埃德(Sam Loyd)

    在100多年前设计的。劳埃德称：“当这个趣味问题第一次刊载在杂志上

    时，超过5万名读者说，‘根本不可能完成’。”但其实这道题非常简单。

    如果你不亲自动手，而是选择直接看答案，你肯定会后悔的。

    如果你愿意认真思考这两个问题，那么不用我多做解释，你就会发

    现它们都非常有趣，你会沉醉其中不能自拔。一旦开始专心致志地解

    题，你就会无暇分心去考虑其他事。使人开动脑筋的问题具有催人向上

    的效果。由于现实生活屡屡违背逻辑，所以利用简单的逻辑步骤完成演

    绎推理是一件特别惬意的事。好的趣味问题不会设置遥不可及的目标，当你达成这些目标时，你会拥有一种无与伦比的满足感。

    与谢莉尔邂逅之后，我在《卫报》上开设了一个在线趣味问题专

    栏。为了确保质量，我查阅了大量图书，还与专业及业余的趣味问题设

    计人员建立了联系。我一直喜欢数学类的趣味问题，但在开始为本书收

    集资料之前，我对它们的多样性、概念深度和悠久历史并不是非常了

    解。例如，我不知道1 000多年前数学的主要作用(除了统计、测量等

    枯燥的商业任务以外)是为人们提供带有益智性质的消遣和娱乐。(可以说，这句话在今天仍然是正确的，因为数独爱好者在人数上远超专业

    数学家。)趣味问题谱写了一部数学的平行历史，我们从中可以看到伟

    大发现的影子，即使头脑最聪敏的人，也可以获得启发。

    本书收集并整理了过去2 000年来的125道趣味问题，讲述了它们的

    起源和影响。我挑选的都是我认为最吸引人、最有趣且发人深思的问

    题。它们只能算广义上的数学题，解题时不需要具备高等数学知识，但

    是需要运用逻辑思维进行推理。这些问题分别来自不同的时代和不同的

    地方，包括古代中国、中世纪欧洲、维多利亚时期的英国和现代日本。

    有的是传统难题，有的是当时顶尖的专业数学家精心设计的问题。然

    而，某一道问题到底从何而来有时很难说清楚。就像笑话和民间故事一

    样，这些问题也随着一代代人的修饰、调整、简化、扩展和重新设计而

    不断发展演变。

    优秀的趣味问题往往像精简的诗句一样，简洁雅致的语言风格总是

    可以激起我们的兴趣，激发我们的好胜心，考验我们的创造力，在某些

    情况下还可以揭示普遍真理。好的趣味问题不需要用到专业知识，而是

    更关注创造性、机敏以及清晰的思维。趣味问题之所以迷人，是因为它

    们可以激发人类探索世界奥秘的冲动；它们之所以能给我们带来快乐，是因为它们把世界的某个奥秘展现在我们眼前。然而，不论趣味问题是

    否具有实际意义，设计的痕迹是否过于明显，我们的解题策略都有助于

    我们更加轻松自如地应对生活中的其他难题。

    然而，趣味问题最重要的好处是寓教于乐，使我们尽情享受智力游

    戏带来的乐趣。这些问题非常有趣，因为它们反映了孩童般的好奇心。

    我在选择趣味问题时尽可能地挑选不同的风格，这就要求我们在解题时

    要使用不同的方法。有的题目需要我们灵光一现，有的需要我们依直觉

    行事，还有一些——现在还不能说得太详细。

    本书的每一章都围绕一个主题，每章中的问题大致按照出现时间顺

    序排列，而不是按难易程度排序，因为难易程度通常很难判断。同一道题，有的人觉得难于上青天，有的人却觉得小菜一碟。有的问题我给出

    了解法，有的问题我进行了提示，还有一些问题需要读者自己动手动脑

    解决(答案附在书的后面)。有的问题很简单，有的则会让你挠头好几

    天，这些难题我都用符号“ ”标示出来了。如果你真的无法解决，可

    以参考书后给出的答案，我希望你会认为这些解法和问题本身一样有

    趣。学会或者了解了新的技巧、想法或者结果后，有时会让人感到无比

    激动。

    在每一章开始之前，我都会给出10道速答题，目的是让你调整好状

    态。第1章、第3章和第5章的10个问题难度较大，所有问题都选自英国

    大不列颠数学协会针对11~13岁学生的数学竞赛。对，它们都是针对孩

    子的问题。试试看你会不会做吧!

    现在，让我们回过头讨论本部分开头的两个问题。

    在看到“数字树”时，你的视线肯定会落在左上方。怎样才能由72和

    99得到27呢？

    有了!99 – 72 = 27。

    也就是说，把两个箭头尾端圆圈中的数字相减，就得到了箭头所指

    圆圈中的数字。

    下一个圆圈中的数字18也符合这个规律：

    45 – 27 = 18

    数字21也符合这个规律：

    39 – 18 = 21

    由此可见，缺失的那个数字肯定是21与36的差，也就是36 – 21 = 15

    保险起见，我们沿着树形图接着往下看：

    28 – 15 = 13

    太棒了!规则仍然有效，马上就要大功告成了。

    但就在这时，意外出现了!

    最后一个数字是7，指向它的两个箭头尾端圆圈中的数字分别是13

    和21，而7并不是13和21的差。

    这下可糟糕了!我们最初的假设不成立了。圆圈中的数字并不等于

    指向它的两个箭头尾端圆圈中的数字之差。芦原伸之巧妙地引领着我们

    走在花园的小径上，直到最后一步我们才发现自己走错路了。

    现在，让我们回到起点，也就是第一个圆圈的位置。由72和99得到

    27，还有别的办法吗？

    答案简单得出乎你的意料!

    7 + 2 + 9 + 9 = 27

    把所有数位上的数字相加即可。

    下一个数字也满足这个规律：

    2 + 7 + 4 + 5 = 18

    接下来的数字同样如此。因此，缺失的数字肯定是：

    2 + 1 + 3 + 6 = 12最后两个数字同样没有任何问题：

    1 + 2 + 2 + 8 = 13

    1 + 3 + 2 + 1 = 7

    这道趣味问题设计得非常巧妙，因为芦原伸之发现有两条算术规则

    可以在整个序列中的5个环节得到相同的答案，但其中一条规则在最后

    一个环节出现了问题，所以只有一条规则是正确的。神奇的是，这道题

    毫不费力就让我们走上了错误的方向。在很多时候，我们觉得某道题很

    难，并非因为它是一道“难题”，而是因为我们走上了一条错误的道路。

    切记!

    “火星上的运河”这道题你解开了没有？你可以按照“There is no

    possible way”(根本走不出去)这个句子走完全程。这道题告诉我们，阅读一定要仔细!

    接下来，让我们一试身手吧。暖身趣味十题

    你连11岁的孩子都不如吗？

    游戏规则：不得使用计算器!

    (1)下图给出了同一个立方体的三个不同视角。与U相对的那

    一面应该是哪个字母？

    A. I B. P C. K D. M E. O

    (2)匹诺曹的鼻子长5厘米，他每撒一次谎，鼻子的长度就会

    加倍。撒谎9次后，他的鼻子大致跟下面哪一个物体的长度差不多？

    A. 多米诺骨牌 B. 网球拍 C. 斯诺克球桌 D. 网球场 E. 足球场

    (3)单词“thirty”(30)有6个字母，而30 = 6×5。同样，单

    词“forty”(40)有5个字母，而40 = 5×8。下面哪个数字不是单词字

    母个数的倍数？A. six(6)B. twelve(12)C. eighteen(18)D. seventy(70)E.

    ninety(90)

    (4)艾米、本和克里斯正在排队。如果艾米站在本的左侧，克

    里斯站在艾米的右侧，那么下面哪个说法是正确的？

    A. 本站在最左边 B. 克里斯站在最右边 C. 艾米站在中间 D. 艾米

    站在最左边 E. A、B、C、D都不对

    (5)下面哪个图形可以在笔尖不离开纸而且线条不重复的情况

    下一笔画成？

    (6)354 972除以7，余数是几？

    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

    (7)一个家庭有若干孩子，每个孩子都至少有一个兄弟和一个

    姐妹。那么，这家至少有几个孩子？

    A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6(8)987 654 321乘以9，得数中一共有几个8？

    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 9

    (9)在下面这个未完成的金字塔图形中，每个矩形中的数字都

    是下方两个相邻矩形中的数字之和。请问，x 代表的是几？

    A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7

    (10)把分数 写成循环小数，这个小数中包含多少个不同

    的数字？

    A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6卷心菜、花心丈夫和斑马

    有趣的逻辑问题

    从逻辑谈起顺理成章，因为逻辑推理是解决所有有趣的数学问题时

    都必须遵守的基本规则。逻辑可以说是所有数学的基础。然而，在有关

    趣味问题的所有专业术语中，逻辑问题是指仅用演绎推理就可以解决的

    问题。这类题目不需要任何算术或代数运算，也不需要随手画出图形。

    而且，它们不需要任何技术知识，是最容易理解的数学难题，问题的表

    述经常采用幽默有趣的语言。但是，我们很快就会看到，逻辑问题并不

    总是最容易解决的，因为它们经常会以不熟悉的方式欺骗我们的大脑。

    逻辑问题至少可以追溯至法兰克国王查理曼大帝时代。

    799年，统治西欧大部分地区的查理曼大帝收到了他曾经的老师阿

    尔昆的一封信，信中写道：“我出了一些有趣的算术题，供你消遣。”阿尔昆是那个时代最伟大的学者。他在约克郡长大，上的是英国最

    好的学校——约克郡的天主教学校，后来还担任这所学校的校长。他的

    声名传到查理曼耳中之后，这位法兰克国王说服阿尔昆前往亚琛，帮忙

    管理宫廷学校。来到亚琛之后，阿尔昆创建了一个大型图书馆，随后又

    对加洛林王朝实施了教育改革。阿尔昆最终离开了查理曼的王宫，成为

    图尔修道院的院长。他就是在这个时候给查理曼写了上面那封信。

    有人认为，连笔书写法是阿尔昆的发明，所以他和他手下的众多抄

    写员的写字速度都非常快。也有人认为，他是第一个用倾斜的曲线表示

    问号的人。由趣味问题早期历史中最主要的人物发明问号，的确顺理成

    章。

    阿尔昆在他写给查理曼大帝的信中提到的那些算术题原件早已失

    传。问题大约有50道，历史学家称之为《青少年趣味智力问题》

    (Problems to Sharpen the Young )。历史学家认为，记录这些问题的现

    存最古老的手稿也比这封信晚100年，因此，除了阿尔昆这位当时最杰

    出的教师以外，还有谁能想出这样的算术题呢？

    这是一个非常重要的文档，不仅是内容最丰富的中世纪趣味问题大

    全，还是首个包含了原创数学内容的拉丁文本。(罗马人修建了道路、引水渠、公共浴场和卫生系统，但他们从未开展过任何数学研究。)书

    中的第一个问题就让人忍俊不禁：

    燕子邀请蜗牛去1里格 [1] 以外的地方共进午餐。如果蜗牛一

    天走1英寸 [2] ，它要花多长时间才能走到午餐地点？

    答案是246年210天。还没等蜗牛到达那里，它早已经死了。

    另一个问题如下：某人问一群学生：“你们学校有多少学生？”其中一名学生回

    答说：“我不想直接告诉你，但是我会告诉你怎么找到这个答案。

    你先把学生人数增加一倍，然后把得数乘以3，再把乘积四等分。

    如果你把我加到其中一个等份中，人数就会变成100。”请问这所

    学校里到底有多少学生？

    这真是一个古灵精怪的孩子!我把这个问题留给你们解决吧。

    阿尔昆的措辞不仅古怪，而且富有开创性。这是人们第一次用幽默

    的方式激起学生对算术的兴趣。然而，这个文档之所以重要，不仅因为

    它在风格上有所创新，还因为它包含一些新的问题类型。有些问题需要

    演绎推理，但不需要计算。阿尔昆最著名的趣味问题无疑也是有史以来

    最知名的数学题。

    狼、羊和卷心菜

    一个人带着一匹狼、一只羊和一捆卷心菜来到了河边。他需要

    过河，但是河边只有一条船，而且他只能带一样东西上船。他不能

    把狼和羊一起留在河边，也不能让羊和卷心菜一起留在河边，因为

    在这两种情况下，前者都会吃掉后者。

    那么，如何用最少的渡河次数把所有东西都带到河对岸呢？

    这个问题之所以非常有趣，主要有两个原因。第一，问题设置的情

    景非常滑稽。你整个上午都在风尘仆仆地赶路，还要不停地把狼从羊身

    边赶走，也不能让羊靠近卷心菜。现在，你的麻烦更大了，因为你不得

    不乘坐一条小得可怜的船渡河。第二，答案也非常好玩和有趣。因为我

    们的英雄必须用一种凭直觉几乎不可能想到的方式，才能成功渡河。下面你也来试试看吧。一篇13世纪的文章宣称所有5岁的孩子都能

    解决这个问题，所以不要有任何压力。

    或者，你也可以跟我一起完成推理。

    我们假设这位过路人在河的左岸。他带着三样东西，但是每次只能

    带一样上船。如果他把狼带走，把羊和卷心菜留在岸边，羊就会吃掉卷

    心菜。如果他带走卷心菜，狼就会吃掉羊。由于狼不吃卷心菜，所以根

    据排除法可知，第一次过河时，他只能带上羊。他将羊送到河的右岸之

    后，再返回左岸带走第二件东西。

    现在，他可以选择带走狼或者卷心菜。假设他决定在第三次渡河时

    带上卷心菜，但到达右岸后，他又不能把羊和卷心菜一起留在那里，这

    时该怎么办呢？如果带着卷心菜一起回来，就意味着他没有取得任何进

    展，因为他刚刚才把卷心菜送到右岸，所以他必须带着羊回到左岸。这一步违背了人们的直觉。他的目标是把所有东西都带到河对岸，但他必

    须把某些东西送过河之后再带回来，之后再次把它们送过河。

    经过4次渡河之后，他又回到了左岸，此时狼和羊都在左岸。他把

    羊拴好，然后带着狼第五次渡过了河。到了右岸之后，因为狼对卷心菜

    不感兴趣，所以他现在需要做的就是再次回到左岸，把羊带过河就可以

    了。经过7次渡河，我们的主人公终于完成了这项麻烦的任务。

    (本题还有一个等效答案。如果过路人在第三次渡河时选择带上

    狼，逻辑推理过程不变，他同样需要通过7次渡河来完成任务。)《青少年趣味智力问题》还记录了其他渡河难题，比如下面这个与

    卧室闹剧非常相似的问题。

    三个男人和他们的妹妹

    三个男人分别带着自己的一个妹妹外出，他们需要渡过一条河，但每个男人都对另外某个男人的妹妹有觊觎之心。来到河边之

    后，他们发现只有一艘小船可以渡河，而且一次只能载两个人。如

    果妹妹与除自己哥哥以外的男人独自乘船，就会受到欺负。请问，用什么办法可以让所有人都过河，而且三个妹妹都不会受欺负？

    由于阿尔昆的措辞有些歧义，所以这个问题可以有两种不同的理

    解。没有争议的是，三对兄妹都必须渡过这条河，而他们可以自由使用

    的工具只有一条每次可载两个人的船。但是，还需要满足下面其中一个

    限制条件：第一，小船绝对不能载没有血缘关系的一男一女；第二，如

    果岸上有其他男性，那么小船在岸边上客或下客时，船上的女性必须由

    哥哥陪同。如果要满足第一个条件，那么所有人全部到达河对岸，一共

    需要渡河9次。我认为，第二个条件更符合题意。在这种情况下，小船

    需要渡河11次，才能完成任务。请大家试着找到这两种渡河方法。

    1 000多年以来，渡河问题给男女老少带来了无穷的欢乐。在世界

    各地传开之后，这些问题发生了一些变化，当地人关心的问题也不断加

    入。在阿尔及利亚，狼、羊和卷心菜被换成了豺、羊和一捆干草；到了

    利比里亚，又被换成了猎豹、鸡和大米；到了桑给巴尔岛之后，又变成

    了豹子、羊和树叶。三个男人带妹妹出游的问题也随着时代的变化而改

    变：好色的男人变成了嫉妒的丈夫，他们禁止妻子和其他男人同船渡

    河。到了13世纪，有一个版本还给所有人起了名字，三对夫妇分别是：

    贝托尔德和贝尔塔，格哈德斯和格蕾塔，罗兰德斯和罗萨。答案也被编

    成了两句六步格的诗。如果你懂拉丁文，不妨读一读这两句诗：

    Binae, sola, duae, mulier, duo, vir mulierque ,(二女，一女，二女，一女，二男，夫妻俩，)

    Bini, sola, duae, solus, vir cum muliere.

    (二男，一女，二女，一男，夫妻俩。)到了17世纪，题中的夫妻变成了主仆。所有主人都禁止他们的仆人

    与另一位主人同行，以防自己的仆人被那位主人谋杀。19世纪的社会冲

    突发生了转变：主仆变成了主人和雇工，同时规定在河的任意一边，雇

    工的人数都不可以超过主人的人数，以防他们萌生抢劫主人的想法。后

    来，仇外心理取代了性别歧视和阶级斗争，经典的版本变成了三个传教

    士和三个饥饿的食人者一起出行。从这道趣味问题，我们不仅可以了解

    数学的发展过程，还可以了解社会阶层的演变历程。

    下面这道渡河问题出现于20世纪80年代。世纪之交，微软公司在他

    们的面试中就采用了这个问题，以测试未来员工解决问题的能力。这道

    题非常棘手，解题的关键是让你的逻辑思维战胜直觉。

    过桥

    约翰、保罗、乔治和林戈4个人站在峡谷的一边，面前是一座

    摇摇欲坠的桥通向峡谷的另一边，每次最多只能允许两个人通过。

    由于是晚上，桥又不太牢固，所以不管是谁，过桥时都必须拿着手

    电筒。但他们只有一个手电筒，而且峡谷很宽，无法把手电筒从一

    边扔到另一边，所以手电筒只能由人拿着。约翰可以在1分钟内走

    过大桥，保罗、乔治和林戈分别需要2分钟、5分钟和10分钟。两人

    同行时的速度等于两人中较慢的那个人的速度。请问，4人如何在

    最短的时间内通过峡谷？

    要解决这个问题，最显而易见的方法就是约翰每次陪着一个朋友过

    桥，这样他可以用最快的速度回来接送一个人。选择这个方法的话，一

    共需要2 + 1 + 5 + 1 + 10 = 19分钟。但是有没有更快的方法呢？

    我们回头看看阿尔昆的《青少年趣味智力问题》，里面有这样一个问题：

    在耕耘了一整天后，牛在最后一道犁沟里留下了多少个脚印？

    答案当然是一个也没有!无论有多少脚印，都会被犁弥平。这是谜

    题文学中最早出现的难题。

    《青少年趣味智力问题》还收录了一些其他类型的题目，包括“亲

    属关系问题”，这类题目要求你找出非传统家庭成员之间的关系。这是

    我最后一次从这位古代约克郡人的作品中挑选问题，后面的题目都是1

    000年之后才出现的。

    双重关系

    如果两个男人分别娶了对方的母亲，那么他们各自的儿子彼此

    之间是什么关系？

    我发现亲属关系问题特别有趣。在解决这类问题时，不管我怎么努

    力地保持一本正经，并认真地进行逻辑推理，我都会忍不住好奇问题背

    后到底有怎样稀奇古怪的故事。

    自中世纪以来，这类问题一直占据着非常重要的地位。维多利亚时

    代的人可能认为颠覆传统家庭结构的暗示具有强烈的吸引力。

    刘易斯·卡罗尔(Lewis Carroll)是有关亲属关系问题的狂热分子，下一个问题就选自他的《混乱不堪的故事》(A Tangled Tale )中的一

    个章节[卡罗尔称之为“节”(knot)]。我认为，1885年出版的这部著作是同类作品的巅峰之作。

    晚宴

    某州州长想举办一个小型宴会，他希望邀请的客人包括他父亲

    的妹夫(姐夫)、他哥哥(弟弟)的岳父、他岳父的哥哥(弟

    弟)、他姐夫(妹夫)的父亲。猜猜看，到底有多少客人？

    要让晚宴的规模尽可能小，客人最少有多少人？

    在推广逻辑问题的趣味性方面，《爱丽丝梦游仙境》和《爱丽丝镜

    中奇遇记》的作者刘易斯·卡罗尔厥功至伟，因为这两部小说包含大量

    的悖论、游戏和哲学趣题。卡罗尔原名查尔斯·路特维奇·道奇森

    (Charles Lutwidge Dodgson)，是牛津大学的数学教授。他还写过三本

    数学趣味问题方面的书，但都没有爱丽丝系列那么成功，原因之一是那

    三本书涉及的数学知识太难了。

    然而，卡罗尔是最早利用说真话、说谎话来设计趣味问题的人之一

    (后来，这类逻辑趣题非常流行)。他发现，在人们互相指责对方说谎

    时，我们有可能从中推断出到底谁说的是真话。1894年，他在日记中写

    道：“在过去的几天里，我已经解决了设计‘谎言’困境时遇到的几个奇怪

    的问题。”下面是他在日记中提到的那个逻辑趣题，我用大家都熟悉的

    语言进行了改写。同年晚些时候，这个逻辑趣题被印成了一个未署名的

    小册子。

    谁在说谎

    波尔塔说葛丽塔在撒谎。

    葛丽塔说罗莎在撒谎。

    罗莎说波尔塔和葛丽塔都在撒谎。

    谁说的是真话？

    在分辨谁在说真话、谁在说谎话之前，我们先看看下面这道在20世

    纪30年代早期风靡一时的逻辑趣题。你猜得出答案吗？

    史密斯、琼斯和罗宾逊

    史密斯、琼斯和罗宾逊是火车司机、消防员和警卫，但是我们

    不知道哪个人做的具体是哪份工作。火车上有三名乘客，巧合的是

    他们的姓氏与那三人相同。我们在称呼这三名乘客时，会在他们的

    姓氏后面加上“先生”，以示区别。因此，三名乘客分别被称作史

    密斯先生、琼斯先生和罗宾逊先生。

    罗宾逊先生住在利兹。

    警卫住在利兹和设菲尔德之间的某个地方。

    琼斯先生的年薪是1 000英镑2先令1便士。

    史密斯的台球水平比消防员高。

    与警卫距离最近的邻居(三名乘客之一)的收入正好是警卫的

    三倍。

    与警卫姓氏相同的乘客住在设菲尔德。请问，火车司机姓什么?

    (原文使用的是英国旧货币制度，我在改写这道题时予以保留，这

    是因为1 000英镑2先令1便士这个金额有一个非常重要的作用，即不能

    被3整除。)

    我非常喜爱这道题，它会激发你当侦探的欲望。乍一看，似乎信息

    非常少，不足以帮我们找出答案。但是，一旦你把这些线索汇总起来，你就会发现每个人的准确身份。

    1930年4月，“史密斯、琼斯和罗宾逊”问题出现在伦敦文学期刊

    《河滨杂志》(The Strand Magazine )上。随后不久，这道题就在英国

    掀起了一股热潮，全国各地的报纸纷纷转载，并迅速向全世界传播。

    1932年，《纽约时报》刊载了这道深受欢迎的趣味问题，同时推出了美

    国版本，把利兹和设菲尔德换成了底特律和芝加哥。

    解决这个难题最直接的方法就是画两个表格。接下来，我们一起来

    做这道题。我们需要找到史密斯、琼斯和罗宾逊这三个人谁是火车司

    机、谁是消防员、谁是警卫，因此，如下方左图所示，我们画一个包含

    工作人员姓名和职业的表格。这道题还涉及三名乘客和三个地点，因

    此，如下方右图所示，我们画出第二个表格，并标注出史密斯先生、琼

    斯先生和罗宾逊先生，以及利兹、设菲尔德及两地之间。第一条可靠的信息是罗宾逊先生住在利兹，所以我们可以在罗宾逊

    先生利兹的方格里打钩，在表示罗宾逊先生居住在其他地方以及表示

    其他人居住在利兹的方格里都打上叉。我们还需要汇总其他线索，在更

    多的方格里打钩或者打叉。例如，居住地与警卫距离最近的那名乘客，收入是警卫的三倍。根据这条信息，我们可以确定琼斯先生不是那名与

    警卫住得最近的邻居，因为他的薪水无法被分成三等份。好了，剩下的

    侦探工作就交给你们来完成吧。

    在“史密斯、琼斯和罗宾逊”问题被公布的当月，它的创造者亨利·

    恩斯特·杜德尼(Henry Ernest Dudeney)离开了人世，终年73岁。杜德

    尼为《河滨杂志》撰写了20多年的趣味问题，是他那个时代最杰出的数

    学趣题设计师，但是直到他死后，“史密斯、琼斯和罗宾逊”问题才帮助

    他取得了一生中最大的成就。《新政治家》(New Statesman )杂志再

    次刊登这道趣味问题之后，该杂志桥牌专栏和填字谜专栏的主编休伯特

    ·菲利普斯(Hubert Phillips)称：“结果令人震惊。潮水般涌来的答案

    (杂志并没有邀请读者答题)充分说明，有许多人都对推理类趣味问题

    感兴趣，而且兴趣非常强烈。”

    菲利普斯是英国自由党经济学讲师和经济顾问。在这道趣味问题流

    行之时，40岁出头的他刚刚转行，进入了新闻行业。这道题引起了菲利普斯前所未有的兴趣，他因此放弃了桥牌专栏，改为定期向读者奉献一

    道逻辑趣题。整个20世纪30年代，菲利普斯成为一位多产的创新型数学

    (及其他类型)趣题发明者，把这10年变成了趣味问题的黄金时代。

    下面向大家介绍他的两道趣味问题，这也是我非常喜欢的两个问

    题。第一道题是一个悬疑类问题，第二道题则是以一种诙谐的方式向传

    统的亲属关系问题致敬。

    圣丹德海德学校

    福威尔市的圣丹德海德学校在曲棍球方面享有很高的声誉，但

    是在诚实方面却名声不佳。最近，11名女球员在迪德尔赫姆打了一

    场比赛，之后女孩们一起去听音乐会。最后，负责管理球队的女教

    师普里小姐集合了队伍，她看到有10名女孩是从音乐厅出来的，还

    有一个是从隔壁电影院出来的。当她问去看电影的人是谁时，团队

    成员七嘴八舌地说起来。

    琼·贾金斯说：“是琼·特威格。”

    格蒂·盖斯说：“是我。”

    贝茜·布朗特说：“格蒂·盖斯在撒谎。”

    莎莉·夏普说：“格蒂·盖斯在撒谎，琼·贾金斯也撒谎

    了。”

    玛丽·史密斯说：“是贝茜·布朗特。”

    多萝西·史密斯说：“不是贝茜，也不是我。”

    凯蒂·史密斯说：“不是姓史密斯的女生。”

    琼·特威格说：“要么是贝茜·布朗特，要么是莎莉·夏

    普。”琼·福赛特说：“琼·贾金斯和琼·特威格都在撒谎。”

    劳拉·兰姆说：“姓史密斯的三个女生中只有一个人说了真

    话。”

    弗洛拉·弗卢梅里说：“不对，姓史密斯的三个女孩中有两个

    在说真话。”

    已知这11个女孩中至少有7个人没说真话，请问，去看电影的

    人到底是谁？

    亲属关系问题

    金斯利代尔一定是一个缺少适婚女子的地方，因为有5个男人

    分别娶了其中另一个人的寡居母亲。詹金斯的继子汤姆金斯是帕金

    斯的继父，詹金斯的母亲是沃特金斯夫人的朋友，沃特金斯夫人的

    婆婆是帕金斯夫人的表姐妹。

    请问，西姆金斯的继子叫什么名字?

    这类逻辑问题现在通常被称为“表格”问题，因为解决它们的最好方

    法就是绘制一个包含所有可能选项的表格。其中最著名的斑马问题是20

    世纪60年代的作品，作者身份不明。

    斑马问题最早出现在1962年的《生活》杂志国际版上。人们通常称

    其为爱因斯坦的逻辑趣题，因为这道题的作者据说是爱因斯坦。不过，考虑到爱因斯坦于1955年去世，这个说法的可靠程度值得商榷。此外，经常有人声称只有2%的人能做对这道题。这个数据可能并不真实，但

    至少说明这是一道非常难的趣味问题。

    斑马问题

    1. 一共有5间房子。

    2. 苏格兰人住在红色房子里。

    3. 狗是希腊人的。

    4. 住在绿色房子里的人喝咖啡。

    5. 玻利维亚人喝茶。

    6. 象牙色房子的右手边是绿色房子。

    7. 蜗牛的主人穿着粗革皮鞋。

    8. 穿着橡胶底鞋子的人住在黄色房子里。

    9. 住在正中间房子里的人喜欢喝牛奶。

    10. 丹麦人住在第一间房子里。

    11. 穿着勃肯鞋的人住在狐狸主人的隔壁。

    12. 穿着橡胶底鞋子的人住在马主人的隔壁。

    13. 穿拖鞋的人喜欢喝橙汁。

    14. 日本人穿人字拖。

    15. 丹麦人住在蓝色房子的隔壁。

    请问，喜欢喝水的人是谁？斑马主人是谁？

    为便于区分，5间房子被漆成了不同的颜色，居住在房子里的人来

    自不同的国家，养着不同的宠物，喝不同的饮料，穿不同的鞋子。在

    《生活》杂志的版本中，这些人还抽不同品牌的美国香烟。鉴于爱因斯坦以从来不穿袜子而闻名于世，我把香烟换成了鞋子。

    《生活》刊登了这道趣味问题之后，读者的反应非常热烈。在接下

    来的一期中，编辑把它放到了封面的显要位置，同时指出：“上一期杂

    志刚刚开始发售，读者来信就如潮水般涌入我们的收发室。这些信件来

    自律师、外交官、医生、工程师、教师、物理学家、数学家、上校、士

    兵、牧师和家庭主妇，还有一些知识特别渊博、逻辑性特别强的孩子。

    这些人的居住地非常分散，彼此相距几千英里 [3]

    之遥，有的住在英格

    兰农村，有的住在法罗群岛，有的住在利比亚沙漠，还有的住在新西

    兰。但是他们都收到了上天的相同的恩赐——超高的智力水平。”我的

    读者，你可别让我失望啊。

    如果你喜欢上面这道题，那么下面这道伤脑筋的题你肯定也会喜

    欢。它是由剑桥大学的年轻逻辑学家马克斯·纽曼(Max Newman)于

    1933年设计的，刊登在休伯特·菲利普斯在《新政治家》杂志主持的一

    个专栏上。菲利普斯借用莎士比亚戏剧《暴风雨》(The Tempest )中

    那个遭到奴役的半人半兽的角色，作为趣味问题的主人公。很多凯列班

    系列趣味问题是多个数学家合作设计的产物，这一道是其中的代表作。

    这道趣味问题堪称天才之作。题中的信息似乎远不足以解决问题，但是所有需要的信息其实都包含其中。《数学杂志》(The

    Mathematical Gazette )称，纽曼的这道趣味问题是一件“珍品”，“在你

    成功解决之前你绝不敢相信它竟然有解”。这道题曾让我吃尽苦头，但

    是这并不妨碍我欣赏它的言简意赅，以及答案蕴含的雅致之美。

    凯列班的遗嘱人们打开凯列班的遗嘱，发现它包含以下条款：

    我给洛、Y.Y.和“批评家”各留了10本书，他们必须按照下列

    要求决定挑选的先后次序：

    (1)任何见过我打绿色领带的人都不得在洛之前挑选；

    (2)如果1920年Y.Y.不在牛津，那么曾借雨伞给我的人不能

    第一个挑选；

    (3)如果Y.Y.或“批评家”拥有第二选择权，那么“批评

    家”要排在第一个坠入爱河的人前面。

    遗憾的是，洛、Y.Y.和“批评家”都不记得任何相关事实，但

    家庭律师称，如果问题本身没有毛病(即问题中没有包含与答案无

    关的多余语句)，就可以推断出相关信息和先后次序。

    请问，遗嘱规定的先后次序是什么？

    洛、Y.Y.和“批评家”是菲利普斯在《新政治家》的同事，但是这个

    事实对于解题几乎没有帮助。我们必须注意到一个关键点：问题中提到

    的每一条信息都与答案相关，所以，只要某个语句的某个内容没有在解

    题过程中用到，得出的答案就是错误的。纽曼的大脑不仅善于设计难

    题，后来还在更严肃的场合中发挥了解决难题的作用。在第二次世界大

    战期间，他在布莱奇利公园 [4]

    负责一个叫作纽曼利的密码破译部门。

    后来，该部门研发了世界上第一台可编程电子计算机——巨人计算机。

    纽曼是理论计算机科学之父阿兰·图灵(Alan Turing)的同事和好友。

    事实上，图灵那篇具有里程碑意义的论文《论可计算数》(On

    Computable Numbers )正是在听了纽曼在剑桥的授课、受到启发之后完

    成的。战争结束后，纽曼在曼彻斯特建立了英国皇家学会计算机实验

    室，并说服图灵加入了他的队伍。

    下面这个有趣的问题叫作“三角枪战”(该问题最早是由菲利普斯提

    出的)。我对问题进行了重述，以致敬某部最后只有一个人幸存的电影。

    三角枪战

    善良、邪恶和丑陋准备参加三角枪战。三个人所在的位置构成

    一个三角形。规则要求，丑陋第一个开枪，邪恶第二，善良第三，之后再次轮到丑陋，然后是邪恶和善良，按此次序进行下去，直到

    剩下最后一个人。丑陋的枪法最差，命中率只有13。邪恶的枪法

    强于丑陋，三枪可以命中两枪。善良的枪法最好，百发百中。

    假设每个人都进行了最有效的部署，绝不会被流弹误伤。

    请问，丑陋应该瞄准谁开枪，他生还的概率最大？

    下面三道逻辑趣题是由菲利普斯推广的(尽管这三道题的作者不是

    菲利普斯)。这种类型的趣味问题看起来就像一场独幕剧，设计巧妙，一旦成功解决，会给人一种回味无穷的感觉。

    苹果和橙子

    你面前有三个盒子，第一个盒子上的标签是“苹果”，第二个

    是“橙子”，第三个是“苹果和橙子”。一个盒子里装着苹果，另

    一个盒子里装着橙子，还有一个盒子里装着苹果和橙子。然而，所

    有标签都没有贴在对应的盒子上。你的任务是重新贴好这些标签。

    你无法看到(或者闻到)盒子里装的是什么，但是你可以把手伸到

    其中一个盒子里，并拿出一个水果。

    选择哪个盒子，可以让你在看到从中拿出的水果后，就能推断出每个盒子里装的是什么水果？

    盐、胡椒和调味酱汁

    席德·索尔特、菲尔·佩珀和里斯·莱利士 [5] 共进午餐。

    某一时刻，他们中的一个人注意到他们三人中正好一个人拿起了

    盐，一个人拿起了胡椒，一个人拿起了调味酱汁。

    拿着盐的人说：“更有趣的是，我们每个人拿起的调味品都跟

    自己的姓氏不对应!”

    “请把调味酱汁递过来!”里斯说道。

    如果这位观察者拿的不是调味酱汁，那么菲尔拿起的调味品是

    什么？

    石头、剪刀、布

    亚当和夏娃玩石头、剪刀、布的游戏，一共玩了10次。已知以

    下信息：

    · 亚当出过3次石头、6次剪刀和1次布。

    · 夏娃出过2次石头、4次剪刀和4次布。

    · 二人没有出现过平局。

    · 亚当和夏娃出各种手势的先后次序是未知信息。

    请问，谁赢了？比分是多少？当菲利普斯于1964年去世时，《纽约时报》上的讣告称：“可能有

    人会说，他在雨雪天气里给我们带来的欢乐比其他任何一位作家都

    多。”除了趣味问题以外，他还编写了数以千计的填字游戏，以及与桥

    牌有关的大量内容(他是英格兰桥牌队队长)。他写过打油诗、200多

    部侦探小说和一篇关于足球的学术论文。在BBC(英国广播公司)的

    《全英问答竞赛》(Round Britain Quiz )中，他的诙谐有趣深受人们的

    欢迎。尽管涉猎如此广泛，他在趣题文化领域仍然起到了深远的影响。

    菲利普斯是第一个让参与者相互透露信息的趣味问题设计者，正因

    为如此，他成为2015年风靡世界的谢莉尔生日问题的鼻祖。

    最初，这类趣味问题是围绕脸上的污垢设计的，最简单的版本只涉

    及两个人。

    泥巴俱乐部

    阿尔伯塔和伯纳黛特在花园里玩泥巴，然后进了屋。姐妹俩都

    可以看到对方的脸，但看不到自己的脸。她们的父亲看了看她们两

    个，然后告诉她们，至少有一个人的脸上有泥巴。

    他让姐妹俩背对着墙站好，然后说：“脸上有泥巴的人向前走

    一步。”

    姐妹俩谁都没动。

    “脸上有泥巴的人向前走一步。”父亲又说了一遍。

    请问，姐妹俩会怎么做？为什么？

    在解这类问题时，我们必须假设故事里的人(即使是那些淘气的孩

    子)都非常诚实，而且拥有专业逻辑学家的分析技巧。下面，我和大家一起解这道题。我们知道至少有一个女孩脸上有泥

    巴，所以一共有三种可能的情况：第一，阿尔伯塔脸上有泥巴，伯纳黛

    特的脸很干净；第二，情况刚好跟第一种相反；第三，两个人脸上都有

    泥巴。

    先考虑第一种情况，即阿尔伯塔脸上有泥巴，而伯纳黛特的脸很干

    净。(请注意，这些信息只有我们局外人知道，姐妹俩并不知道。她们

    掌握的信息仅源自她们的观察及在此基础上做出的推断。)

    让我们进入阿尔伯塔的大脑。她看向伯纳黛特，结果看到了一张干

    净的脸。因为她知道至少有一个人脸上有泥巴，所以她可以肯定那个人

    就是她自己。随后，她的父亲让脸上有泥巴的人向前走一步，但是阿尔

    伯塔站在那儿没动。因此，我们可以断定这种情况是不正确的，因为如

    果阿尔伯塔是个诚实的孩子，她就会站出来。

    再考虑第二种情况，即伯纳黛特的脸上有泥巴，而阿尔伯塔的脸是

    干净的。

    这种情况的逻辑推理过程与第一种情况相同，因此这种情况也可以

    排除。

    接下来考虑第三种情况，即两个女孩的脸上都有泥巴。

    我们仍然从阿尔伯塔的角度考虑这种情况。她看向伯纳黛特，结果

    看到了一张有泥巴的脸。她知道至少有一个人的脸上有泥巴，但她无法

    推断出自己的脸上有没有泥巴，因为无论她的脸上有没有泥巴，“至少

    有一个人的脸上有泥巴”这句话都是成立的。所以，当她的父亲让脸上

    有泥巴的人站出来时，她没有动。重要的是，阿尔伯塔之所以没有站出

    来，是因为她不知道自己的脸上究竟有没有泥巴，而不是因为她知道自

    己的脸很干净。同样，伯纳黛特看到了一张有泥巴的脸，因此她也无法确定自己的

    状况。当她的父亲让脸上有泥巴的人站出来时，她同样不会动。

    由此我们可以肯定第三种情况是正确的，因为在父亲第一次让脸上

    有泥巴的人站出来时，这两个女孩都没有动。那么，接下来会发生什么

    呢？

    阿尔伯塔的脸上可能有泥巴，也可能没有泥巴。不过，她可以排除

    后一种可能性，因为如果她的脸是干净的，伯纳黛特在看到她的脸后就

    可以推断出自己的脸比较脏，并且在她们的父亲第一次提出要求时就会

    站出来。因此，阿尔伯塔推断出自己的脸上有泥巴。出于同样的原因，伯纳黛特也推断出自己的脸上有泥巴。于是，在她们的父亲第二次让脸

    上有泥巴的人站出来时，姐妹俩都会向前走一步。

    总而言之，在父亲要求脸上有泥巴的人站出来时，由于姐妹俩都能

    看到彼此的脸上有泥巴，所以她们无法推断自己的情况。但是，当她们

    意识到对方也无法推断出自己的状况时，她们就会从中得到更多的信

    息，从而推断出她们两个人的脸上都有泥巴。太棒了!

    菲利普斯发表第一个“脸上污垢”问题的时间是在1932年，但脸上污

    垢的逻辑推理的历史更悠久。例如，法国的猜谜游戏“看谁笑到最后”至

    少可以追溯到16世纪。根据规则，一名玩家用沾满烟灰的手指在其他成

    员的脸上留下印迹，所有玩家都要想方设法成为笑到最后的那个人。法

    国作家弗朗西斯·拉伯雷(Fran?ois Rabelais)在那部滑稽怪诞的代表作

    《巨人传》(Gargantua and Pantagruel )中就曾提到这个游戏。在这部

    小说19世纪初的德译本中，这个游戏发生了一个新颖的变化。参与游戏

    的所有人都要捏右边那个人的脸颊，但是其中有两个人用烧焦的粉笔把

    自己的手指弄黑了，所以有两个人的脸上会有粉笔灰。该德译本的译者

    在注释中解释说：“这两个人都认为大家在笑话另一个人，却不知道自

    己遭到了愚弄。”在菲利普斯发表了他的“脸上污垢”问题后不久，这个趣味问题就出

    现了大量的变体，并引起了学者们的兴趣。俄裔美国宇宙学家乔治·伽

    莫夫(George Gamow)是宇宙起源大爆炸理论最早的倡导者之一，他

    也创作了一些精彩的科普作品，其中包括《从一到无穷大》(One Two

    Three...Infinity ，1947年出版)。这本书至今仍是我的最爱之一，让人

    爱不释手。1956年，伽莫夫为康威尔航空公司提供咨询服务，数学家马

    文·斯特恩(Marvin Stern)也在这家公司任职，但两个人的办公室不在

    同一楼层。他们发现，每次去对方的办公室时，电梯几乎都在朝着相反

    的方向运行。这显然是一个难以解决的问题。在讨论其背后的数学原理

    的过程中，他们建立了深厚的友谊，并最终决定合作撰写《趣味数学问

    题》(Puzzle-Math )一书。下面三个“脸上污垢”问题就来自这本书。

    脸上有烟灰的是你

    火车上有三名乘客，各自忙着手头的事情。这时候，从一旁经

    过的火车头冒出的烟突然从窗户吹了进来，三个人的脸上都蒙上了

    一层烟灰。正在埋头看书的乘客——阿特金森小姐，抬头看了看，然后“咯咯”地笑了起来。这时，她发现另外两名乘客也在笑。阿

    特金森小姐与同车厢的另外两名乘客一样，都以为自己的脸是干净

    的。此外，阿特金森小姐还以为，那两名乘客之所以会笑，是因为

    他们看到对方的脸很脏。但阿特金森很快就明白过来，她拿出手帕

    擦了擦自己的脸。

    假设这三名乘客的行为都合乎逻辑，而阿特金森小姐的逻辑推

    理能力更强。请问，她是怎么知道自己的脸也脏了的？

    《趣味数学问题》并不像伽莫夫的其他书那样令人难忘，但这本书

    中仍然包括一道设计得非常巧妙的逻辑问题。伽莫夫认为这道题是伟大的苏联天体物理学家维克多·阿姆巴楚米扬(Victor Ambartsumian)的作

    品。我对这道题重新进行了表述，并略做改动，主要是其中人物的性

    别。这道题难度很大，但如果你采用前两个问题中的逻辑推理方法，就

    应该可以解决。即使解决不了，你也可以看看书后的答案，并发出惊叹

    声。

    40名不忠的丈夫

    某个小镇有40名欺骗妻子的丈夫。所有女人都知道，除了自己

    的丈夫之外，其他男人都不忠。换句话说，每个妻子都认为自己的

    丈夫是忠诚的，而其他39个男人都有问题。小镇道德堕落的名声传

    到了都城，国王听说后颁布了一道法令，惩罚行为不检的丈夫。这

    道法令规定，如果妻子发现丈夫不忠，她必须于当天中午在市镇广

    场杀死自己的丈夫。

    国王接着说道：“我知道至少有一名丈夫对妻子不忠，我要求

    你们必须采取行动。”

    接下来会发生什么呢？乍一看，这道题似乎根本无解，因为妻子们已经知道有39个男人不

    忠。国王说“至少有一名丈夫”在欺骗自己的妻子，这条信息有什么意义

    呢？事实上，这条信息有非常重要的意义!

    下面这道题与上一题类似。题中三个人需要进行推理，依据就是他

    自己和大家共同掌握的信息。

    一盒帽子

    阿尔杰农、巴尔塔扎和卡拉塔克斯共有一个盒子，里面装有三

    顶红帽子和两顶绿帽子。他们都闭上眼睛，各自从盒子里拿出一顶

    帽子，并戴在头上。然后，他们盖上盒盖，再睁开眼睛。他们每个

    人都能看到另外两个人戴了什么颜色的帽子，但是不知道自己的帽

    子以及盒子里剩下的帽子是什么颜色。

    阿尔杰农说：“我不知道我的帽子是什么颜色。”

    巴尔塔扎说：“我不知道我的帽子是什么颜色。”

    卡拉塔克斯看到另外两个人都戴着红帽子后说：“我知道我戴

    的帽子是什么颜色!”

    请问，卡拉塔克斯戴的帽子是什么颜色？

    帽子问题至少可以追溯至中国古代，但当时的文字表述与现在不

    同，而且讨论对象是中国官员官帽上镶嵌的冠玉。更重要的是，官员不

    知道自己头顶上戴着什么样的冠玉时也不会大声说出来，我们必须从他

    们是否保持沉默来推断他们知不知道。

    直到20世纪60年代，这类问题才开始有上述戏剧性的对话，问题中

    的每个人即使在不知道时也会大声说出来，为人们成功解题创造了有利条件。妙趣横生的对话让人更清楚谁知道什么，还会产生一种童话剧的

    效果。

    下面这道趣味问题出现在英国数学家约翰·恩瑟·李特尔伍德(J. E.

    Littlewood)于1953年出版的《李特尔伍德杂录》(A Mathematician’s

    Miscellany )中。李特尔伍德是20世纪上半叶英国最伟大的三位数学家

    之一，还有一位是哈代(G. H. Hardy)。人们经常开玩笑，用“哈代–李

    特尔伍德”这个称谓来表示他们之间成果丰硕、历时长久的合作。第一

    次世界大战期间，李特尔伍德为军方改进了导弹轨迹方向、时间和射程

    的计算公式。这项成果的军事价值巨大，因此他得到了一些特殊奖励，例如，着制服打伞的特权。

    我们接着讨论这道题。我们对李特尔伍德的原题进行了改写，变成

    了现在这种符合社交礼仪的对话式幽默剧的形式。这道题很有挑战性，所以我们必须头脑清醒，厘清随着共有知识不断增加而纷纷涌现的各种

    可能。一旦我们按部就班，排除所有不可能的情况，最终找到答案，就

    能感受到无与伦比的乐趣。逻辑类趣味问题要求人们思路清晰，在让人

    感到兴奋的同时也让人无比痛苦，而这些痛苦恰恰是乐趣的一个组成部

    分。

    连续数字

    西庇太偷偷把两个数字写到一张纸上。他告诉赞茜和伊维特这

    两个数字都是整数(也就是说，是像1、2、3、4、5这样的数

    字)，而且是连续数字(也就是说，是两个挨着的数字，比如1和

    2，2和3，3和4等)。然后，西庇太把其中一个数字轻声告诉了赞

    茜，把另一个数字告诉了伊维特。

    随后发生了下面这段对话：赞茜：“我不知道你的数字。”

    伊维特：“我也不知道你的数字。”

    赞茜：“现在我知道你的数字了!”

    伊维特：“现在我也知道你的数字了!”

    请问，西庇太写在纸上的两个数字，你能推断出其中至少一个

    吗？

    西庇太在把数字告知赞茜时，也可以不采用耳语的方式，而是画到

    伊维特的脸上，或者把数字写在伊维特的帽子上。在把数字告知伊维特

    时，他也可以不采用耳语的方式，而是把数字画在赞茜的脸上，或者写

    在赞茜的帽子上。对于这些趣味问题来说，最重要的是让赞茜知道某些

    伊维特不知道的事情，让伊维特知道某些赞茜不知道的事情。

    下一个问题采用了同样的结构。2015年，我在一个新加坡的网站上

    发现了这个问题，然后把它放到了我在《卫报》的博客上。这道题之所

    以引起了我的注意，是因为出题人称该题针对的是小学生，这进一步加

    深了我对亚洲数学教育令人难以置信的高标准的印象。如果新加坡小学

    里的孩子都能解决这样的问题，那么新加坡的年轻人成为全世界最杰出

    的数学高手也就不足为奇了。

    谢莉尔的生日

    阿尔伯特和伯纳德刚刚成为谢莉尔的朋友，他们想知道她的生

    日是哪一天。于是，谢莉尔给他们列出了10个可能的日期。

    5月15日 5月16日 5月19日

    6月17日 6月18日7月14日 7月16日

    8月14日 8月15日 8月17日

    谢莉尔随后把她的生日所在的月份告诉了阿尔伯特，而把具体

    的日期告诉了伯纳德。

    随后，他们有了下面这番对话。

    阿尔伯特说：“我不知道谢莉尔的生日是哪一天，但我知道伯

    纳德也不知道。”

    伯纳德说：“起初我不知道谢莉尔的生日是哪一天，但我现在

    知道了。”

    阿尔伯特说：“现在我也知道谢莉尔的生日是哪一天了。”

    请问，谢莉尔的生日是哪一天？

    在我把“谢莉尔生日”问题发布到博客上之后，这篇博文在几小时内

    就占据了《卫报》网站浏览排行榜榜首的位置，我在标题中提出的那个

    有点儿无耻的问题“你连新加坡的10岁孩子都不如吗”可能吸引了不少

    人。然而，不久之后人们发现，一个地区性数学竞赛采用了这道题。这

    次竞赛是针对排名前40%的15岁儿童的，一共25个问题，按由易到难的

    次序排列，这个问题是其中的第24题。因此，只有非常优秀的学生才有

    可能做对这道题。我修改了标题，以准确反映问题的难度，但这不仅没

    有降低它的趣味性，反而在互联网上掀起了一股热潮。在接下来的几天

    里，谢莉尔生日问题成为包括BBC和《纽约时报》在内的众多新闻网站

    最热门的内容。我发布在《卫报》网站上的文章当周的点击量就超过

    500万次。在这家报纸年度最受关注内容评选中，我的这篇文章排名第

    9，公布答案的文章更是排名第6。我真不敢相信，一个数学问题竟然在

    世界范围内传播得如此之广，感兴趣的人竟然如此之多。

    我与这道题目的作者、新加坡数学教育家约瑟夫·杨(杨文伟)取

    得了联系。他也在脸谱网上发现这道趣味问题正在像病毒一样迅速扩散，他还看到了那份试卷的照片。他不由得惊呼：“这份试卷看起来很

    眼熟啊!等一等，这就是我出的那份试卷啊!”在新加坡国立教育学院

    任职的杨博士是数学教科书领域最重要的一名作者，新加坡超过一半的

    中学生都在使用他编写的教材。他告诉我，谢莉尔生日问题并不是他想

    出来的，作者另有其人。他是在网上看到一个类似的版本，于是决定稍

    加修改，为角色重新命名，并精简了对话。此外，他还修改了题目中的

    生日日期，把自己的生日变成了答案。我们俩都没有找到这道题的原作

    者，在追溯到德雷塞尔大学“请教数学博士”网页上2006年的一篇文章之

    后，所有线索就都断了。那篇文章的作者署名是“艾迪”，他发表那篇文

    章的目的就是请大家帮忙解答那道题。

    谢莉尔生日问题告诉我们，要想创作出一道精妙的智力问题，通常

    需要一群人的通力合作。就像笑话和寓言一样，趣味问题也会不断演

    变。每次重新表述都会被赋予新的变化，最好的表述可以沿用几十年、几百年，甚至几千年。

    然而，谢莉尔生日系列问题的确是约瑟夫·杨的杰作。

    丹尼丝的生日

    阿尔伯特、伯纳德和谢莉尔成了丹尼丝的朋友，他们想知道丹

    尼丝的生日。于是，丹尼丝列出了20个可能的日期。

    2001年2月17日 2001年3月13日

    2001年4月13日 2001年5月15日

    2001年6月17日 2002年3月16日

    2002年4月15日 2002年5月14日

    2002年6月12日 2002年8月16日2003年1月13日 2003年2月16日

    2003年3月14日 2003年4月11日

    2003年7月16日 2004年1月19日

    2004年2月18日 2004年5月19日

    2004年7月14日 2004年8月18日

    然后，丹尼丝把她生日的月份、日期和年份分别告诉了阿尔伯

    特、伯纳德和谢莉尔。

    随后，他们有了下面这番对话。

    阿尔伯特说：“我不知道丹尼丝的生日是哪一天，但我知道伯

    纳德也不知道。”

    伯纳德说：“我仍然不知道丹尼丝的生日是哪一天，但我知道

    谢莉尔也仍然不知道。”

    谢莉尔说：“我仍然不知道丹尼丝的生日是哪一天，但我知道

    阿尔伯特也仍然不知道。”

    阿尔伯特说：“现在我知道丹尼丝的生日是哪一天了。”

    伯纳德说：“现在我也知道了。”

    谢莉尔说：“现在我也知道了。”

    请问，丹尼丝的生日到底是哪一天？

    在关于谢莉尔生日的系列问题中还出现过另外一个重要的问题——

    荷兰数学家汉斯·弗兰登塔尔(Hans Freudenthal)于1969年提出的“不可

    能问题”。这种首次使用“我本来不知道，但是现在我知道了”的问题的

    确名副其实，不借助纸笔几乎无法解决，所以我没有把它收入本书中。

    (但是，如果你觉得自己足够勇敢，不妨上网找找看吧。)不可能问题

    还属于趣味问题中另外一种至少可以追溯到20世纪上半叶的传统风格问

    题。这类问题通常会告诉我们一组数字彼此相加的和以及彼此相乘的积，然后要求我们推断出这些数字。问题表述通常采用年龄这种形式，而且常常与牧师有关。

    孩子们的年龄

    牧师问教堂的司事：“你的三个孩子多大了？”

    司事回答说：“他们的年龄之和是我家的门牌号，积是36。”

    牧师走开了，但是过了一会儿他又回来了，跟司事说他不会解

    答这道题。

    司事告诉牧师：“你儿子的年龄比我的三个孩子都要大。”然

    后，他又补充说，牧师现在可以解开这个问题了。

    请说出这三个孩子的年龄。

    做完上面这道题，我们接着看下面一道题，即本章的倒数第二题。

    这道题的作者是英国数学家、普林斯顿大学荣誉退休教授约翰·霍顿·康

    威(John Horton Conway)。我上一次见到康威是在一次有关数学、趣

    味问题和魔术的会议上。他告诉台下的300名听众，他属于那种需要人

    们的致礼才会有动力的人，因此他建议每个人都用手指着自己，同时用

    尽可能小的声音说出“书呆子”这个词。就这样，他让房间里的所有人一

    起行了一个书呆子式的礼。这种活泼快乐的行事风格对康威产生了深远

    的影响：在他的整个学术生涯中，康威设计了大量的游戏和趣味问题。

    史蒂芬·霍金等科学家利用事物演变模型，展示了简单规则导致复杂行

    为的原理，康威在他最著名的生命游戏问题中也采用了类似的方法。

    下面这个问题是康威的代表作之一。这道题既是对常识类趣味问题

    的一次模仿，又是同类问题的一个典型代表。同阿尔昆趣味问题之后的所有优秀问题一样，这道题也讲述了一个有趣的故事，但乍一看似乎信

    息太少，根本无法解答。

    公共汽车上的奇才

    昨天晚上，我坐在公共汽车上，无意中听到坐在我前面的两个

    奇才之间的对话：

    A：“我的几个孩子的年龄都是正整数，年龄之和正好是这条

    公共汽车线路的编号，乘积正好等于我的年龄。”

    B：“这可太有意思了!如果你把你的年龄告诉我，再告诉我

    你有几个孩子，也许我就能算出他们的年龄了。”

    A：“不行。”

    B：“啊!我终于知道你的年龄了!”

    请问，我乘坐的是几路公共汽车？

    A说“不行”时，他既没有生气，也没有任何轻蔑的意思。他的意思

    是，即使他说出自己的年龄和孩子的个数，B得到的信息也不足以帮助

    他推断出各个孩子的年龄。

    为了方便你找到正确答案，我可以告诉你A有不止一个孩子，而且

    在他的孩子中，年龄是1岁的孩子不超过1个。此外，符合本题条件的公

    共汽车线路编号具有唯一性。

    开动脑筋吧!

    最后，我们看一道包含图形的题目，为下一章讨论几何类型的趣味问题做一些准备工作。如果我告诉大家，大多数人做这道题时都会得出

    错误的答案，会不会对你有所帮助呢？

    元音字母游戏

    下面4张牌的正反两面分别印有一个字母和一个数字。

    想要验证下面这句话的对错，需要翻看哪几张牌？

    如果卡片的一面印有元音字母，那么它的另一面印的一定是奇

    数。

    [1] 里格(league)，原陆路长度单位，1里格一般约等于3英里。——译者注

    [2] 1英寸≈2.54厘米。——编者注

    [3] 1英里≈1.61千米。——编者注

    [4] 布莱奇利公园(Bletchley Park)又称X电台(Station X)，在第二次世界大战期间，曾

    是英国政府破解密码的主要地点。——译者注

    [5] 索尔特、佩珀和莱利士这三个姓氏的英文拼写分别是Salt(盐)、Pepper(胡椒)和

    Relish(调味酱汁)。——译者注暖身趣味十题

    你是文字游戏的高手吗？

    (1)请在下面这组字母的开始或结尾添加一个字母，使之变成

    一个英语单词。注意：不能改变所给字母的顺序。

    LYLY

    (2)打字机键盘上方第一行的10个字母键是：

    Q W E R T Y U I O P

    你可以写出一个仅由这10个字母组成的单词吗？

    (3)添加三个新字母，将下面这个不完整的单词补充完整。不

    得改变所给字母的先后次序，也不得在中间插入其他字母。

    ONIG

    (4)贾斯柏·贾森(Jasper Jason)在当地电台工作。下面是他

    的名片：

    你能发现其中的规律吗？

    (5)补全下面这个单词。所给字母必须按给定次序出现在单词之中，且中间不得插入其他字母。这一次我不告诉你需要添加几个

    字母。

    RAOR

    (6)趣味问题学者戴维·辛马斯特(David Singmaster)在监考

    时发现了下面这个结构。出现这么多的“T”，并不是因为笔记本电脑

    上的“T”键一直被按着。

    SENTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT

    那么，下一个字母是什么？

    (7)补全下面这个单词。所给字母必须按给定次序出现在单词

    之中，且中间不得插入其他字母。

    HQ

    (8)下列单词的共同点是什么？

    Assess

    Banana

    Dresser

    Grammar

    Potato

    Revive

    Uneven

    Voodoo

    (9)补全下面的单词。所给字母必须按给定次序出现在单词之

    中，且中间不得插入其他字母。

    TANTAN(10)要补全下面这个字母串，应该在最后添加哪个字母？

    O U E H R A绕着原子行走的人

    错乱的几何问题

    第一个通过手中的笔向世人展示逻辑推理乐趣的人是欧几里得

    (Euclid)。公元前300年左右，这位古希腊数学家完成了《几何原本》

    (Elements )的创作。

    从表面看，《几何原本》是一本几何学著作。也就是说，它研究的

    无非是点、线、平面和立体图形。但是，它对人类思想史的真正意义在

    于，它把欧几里得研究这些概念时使用的方法介绍给我们。在这本书的

    开头，欧几里得先给出了一些定义和5条基本规则，并且告诉我们，这5

    条规则被公认是正确的。然后，他以这些规则为前提，推导出全书的余

    下所有内容，而且所有步骤环环相扣，严谨无误。这个方法威力巨大，可以搭建起一个庞大的知识体系。只要预先给出的规则是正确的，就可

    以保证所有推理结果也是正确的。《几何原本》是之后所有数学研究争

    相仿效的模板。

    实际上，欧几里得一开始只有一把画直线的尺和一个画圆的圆规。

    但是，他凭借这两个简单的工具，却完成了全书所有定理(多达数百条)的证明。

    举个例子。利用尺规作图，将给定的线段两等分：

    步骤1：将圆规的一只脚置于线段的一个端点处，把装铅笔的脚置

    于另一个端点处，画一个圆；

    步骤2：将圆规的两只脚的位置对调，再画一个圆；

    步骤3：用直尺连接两圆的交点，连线将会平分给定的线段。

    事实上，《几何原本》中的所有定理都是以问题的形式出现的，证

    明则是以求解的形式给出的。事实上，它就是一本趣题集，只不过没有

    明说罢了。我特别喜欢下面这道题，因为它让我们看到欧几里得的工具

    并不只有一把直尺和一个圆规，相反，它让这位把极简概念发挥到极致

    的大师露出了马脚。

    孤零零的直尺

    给你一支铅笔和一把直尺，但没有圆规。如下图所示，直尺有

    两个刻度。你能用这把直尺，画一条长度正好等于这两个刻度之间

    距离一半的线段吗？换句话说，如果这两个刻度相距两个单位，你

    能画出一条长度为1个单位的线段吗？

    测量长度时只能用直尺，不可以使用铅笔或纸。

    我为本章选择的问题都是几何问题，也就是说，你可以通过研究线

    条、形状和实物的属性，感受到解题的乐趣。下一个问题源于18世纪版

    的《几何原本》。接替艾萨克·牛顿担任剑桥大学卢卡斯数学教授的威

    廉·惠斯顿(William Whiston)为这一版本添加了注释，他在注释中提

    到的一个古怪的数学问题，后来成为广为人知的趣味问题。

    惠斯顿的问题是：如果一个人绕地球走一圈，那么他的头比他的脚

    多运动了多少距离呢？你能算出这个距离吗？在这里，我们假设地球是

    一个完美的球体。

    我来帮大家计算一下，但我们必须具备一些初等数学知识：圆的周

    长公式。圆的周长等于π乘以半径的2倍，通常简写为2π(r ，其中π约等

    于3.14。我希望这个公式的引入不会影响你看到最后答案时的惊喜心

    情。接下来，请耐心地看我解答这道题。上图中，r 是地球半径，H 是这个人的身高。根据圆周长公式可

    知，地球的周长(即人双脚运动的距离)是2π(r ，虚线圆的半径是地球

    的半径加上人的身高，因此虚线圆的周长(即头的运动距离)是2π(r +

    H )。两个圆周长之差，就是头比脚多运动的距离：

    2π(r + H ) – 2πr = 2πr + 2πH – 2π(r = 2πH

    消去包含2π(r 的项(记住这个操作!)，就会发现答案是2πH ，即

    2×3.14×人的身高。

    也就是说，如果人的身高是1.8米，那么头比脚多运动的距离大约

    是11米。

    惠斯顿当时特别指出这个答案很有意思，现在大家明白其中的道理

    了吧？原因在于，这个距离太小了!地球的周长大约是40 000千米，绕

    地球行走了数万千米之后，这个人的头仅比他的脚多运动了大约11米，相当于整个旅程的0.000 03%。实在令人难以想象!

    下面这道经典问题也源于惠斯顿的环球旅行问题。

    绕地球一圈的绳子

    一根绳子紧紧地缠绕在地球的圆周上。把绳子加长1米，然后把它从地面提起，使它再次变成一个绷紧的圆圈，且绳子上的每一

    点相对于地面的高度都相同。

    请问绳子现在的高度是多少？多大的动物可以从绳子下面爬过

    去？

    从下图可以看出，这个问题和上一个问题在本质上是一样的。两道

    题都需要将两个同心圆进行比较，其中较小的那个圆是地球的圆周。在

    本题中，大圆的周长比小圆长1米。

    换成绳子之后，问题的答案与我们的直觉之间的反差就更明显了。

    绳子加长1米后，可以抬离地面的高度是 米，约等于16厘米。(解题

    过程如下：设地球的圆周长是c ，则加长的绳子的长度为c + 1。利用周

    长公式可以得出两个方程：2π(r = c 和2π(r + h ) = c + 1。两者结合就会

    得到2πh = 1，因此h = 。)

    想想看，这个结果意味着什么？我们有一根40 000 000米长的绳

    子，然后把它加长到40 000 001米。加长的幅度显然非常小，但要让这

    根绕地球一周的绳子再次绷紧，就必须让它与地面保持大约16厘米的距

    离。哪些动物可以从绳子下方爬过去呢？显然，猫或者体型较小的狗可

    以毫不费力地爬过去。

    现在，我们回过头接着考虑绕地球行走的问题。当计算人的头比脚多运动的距离时，我们消去了两个含有2π(r 的项，最后得出答案：2π×

    人的身高。此时，我们有一个重要发现：地球的半径r 并没有出现在答

    案中；人的头多运动的距离只与身高有关，而与地球的大小无关。换句

    话说，地球的大小对答案没有任何影响。无论惠斯顿的漫步者绕着多大

    的球体行走，他的头多运动的距离都一定是11米。

    (1)一个人绕原子走一圈，他的头比脚多运动多少距离？

    (2)一个人绕足球走一圈，他的头比脚多运动多少距离？

    (3)一个人绕木星(周长约为40万千米)走一圈，他的头比脚多

    运动多少距离？

    (4)一个人绕太阳(周长约为440万千米)走一圈，他的头比脚多

    运动多少距离？

    答案全都是11米(当然，不考虑实际情况中的困难)。同样，如果

    把环绕原子、足球、木星或太阳的绳子加长1米，要让加长后的绳子重

    新绷紧，绳子都需要整体抬高16厘米。这太令人吃惊了!

    威廉·惠斯顿在剑桥大学只做了8年的卢卡斯数学教授，就因为信仰

    异教而遭到驱逐。从此以后，惠斯顿再也没有回到学术界，而是在伦敦

    的咖啡馆里讲授数学和科学。

    惠斯顿对科学的最大贡献是，他在说服英国政府成立经度委员会

    (Board of Longitude)的过程中发挥了关键作用。经度委员会曾发布一

    道悬赏令，希望找到海上船只经度的计算方法。尽管惠斯顿希望赢得这

    笔钱，但他多次尝试也没有解决这个问题。因此，如果说惠斯顿对数学

    的最大贡献就是他设计了一道环绕地球航行的趣题，也是非常恰当的。

    相较用绳子绕地球一周的问题，我更喜欢惠斯顿提出的人绕着地球

    行走的问题。这两个问题显然都非常荒谬，但前者的设计痕迹更加明显。如果真有一根绳子环绕着地球，而且你把它加长了1米，那么你肯

    定希望捏住绳子上的某一点，看看这一点可以被提至多高，而不是了解

    绳子整体可以提至多高。如果你的目的是让动物从绳子下面爬过去，就

    更应该如此了!

    于是，我们有了下面这个新问题：

    给你一根绕地球一圈的绳子。现在把它加长1米，你捏住绳子

    上的某一点把这根松弛的绳子提起，使它再次紧绷。请问，绳子可

    以提至多高？哪些动物可以从绳子下面爬过去？

    不要费劲儿做这道题了，因为只有具备一定的数学水平，才有可能

    找到答案。我把这道题放在这里，是因为它的答案很有意思。先猜一

    猜，再看书后的答案。不过，最好先做下面这道题再看答案。

    提示：我们需要用到勾股定理。该定理告诉我们，直角三角形斜边

    的平方等于其他两边的平方和。(斜边就是直角所对的那条边。)大家

    肯定知道这条定理，对吧？

    街头聚会的彩带

    你所在的街道将举行聚会。街道全长100米，装饰用的彩带长101米。你把彩带的一头系在街道一端的灯柱底部，另一头系在街

    道另一端相距100米的另一根灯柱底部，然后把彩带的中点系在街

    道中间灯柱的中点处。

    假设彩带拉得很紧，但是没有被拉长。请问，灯柱的高度是多

    少？

    接下来的三个问题与滚动的圆有关。如果你以前从未想过圆的滚动

    有什么特点，那么这几个问题可能会让你摸不着头脑。但我保证，不论

    你是通过什么方式找到正确答案的，你都会忍不住发出惊叹声。做完这

    三道题，当遇到后文中与日本有关的那几个问题时，就不会觉得难了。

    《几何原本》确立了欧几里得逻辑大师的地位，但是，这位以头脑

    冷静、推理严谨著称的“大祭司”遭遇了夏洛克·福尔摩斯(Sherlock

    Holmes)的挑战，后者不仅分享了他头顶上的光环，甚至还有进一步超

    越他的趋势。

    这位虚构的侦探追求的是欧几里得式的严谨：“我都和你说过多少

    次了：把所有绝不可能的事情都排除之后，剩下的事情即使再不可思

    议，那也是真相!”不过，他的严谨在数学面前似乎也不值一提了。

    在一个早期的福尔摩斯系列故事《修道院公学》(The Adventure of

    the Priory School )中，福尔摩斯仅凭借自行车留下的两列车轮印，就

    推断出那辆自行车的前进方向。他向华生解释了他的推理过程：“自行

    车的重量都落在后轮上，所以后轮留下的车轮印当然会更深。你看，有

    几个地方，深的车轮印从浅的上面碾过，完全盖过了浅的车轮印。毫无

    疑问，这辆自行车正在离开修道院。”

    我不是很明白他的推理。但是，不管骑自行车的人往哪个方向走，后轮都会盖过前轮留下的印痕，不是吗？其实，利用车轮印痕的确有可能推断出自行车的前进方向，但福尔

    摩斯的作者阿瑟·柯南·道尔爵士(Sir Arthur Conan Doyle)错过了一个

    自我表现的机会。

    骑上你的自行车，夏洛克!

    下图是骑车人留下的车轮印，请问他的行进方向是从左向右还

    是从右向左？

    福尔摩斯说的没错，你先要分出哪条车轮印是前轮留下来的，哪条

    是后轮留下来的。但是，你无须知道车轮印的深浅，就可以完成这项工

    作。

    下面这道题也跟自行车有关。也许你可以根据直觉说出答案。下题

    的两幅图中，一幅看上去很正常，另一幅似乎有点儿不对劲儿。你知道

    是怎么回事吗？

    模糊数学

    一位摄影师正在拍摄运动中的自行车。自行车沿着水平道路行

    驶，但我们不知道它的方向是从左向右，还是从右向左。不过，方

    向并不重要。自行车的车轮呈圆盘状，上面有两个五边形标志。

    请问，下面两个图形中，哪一个是摄影师拍摄的照片？

    上面这道题告诉我们，圆在滚动时表现出来的特点比表面看起来更

    加微妙。

    下面这道题选自美国SAT(学术能力评估测试)中的一般能力测

    试。1982年，全美有30万人参加了该项测试，只有3人做对了这道题。

    你也来试试看吧。

    绕着圆转圈

    圆A的半径是圆B的半径的 。圆A沿圆B的圆周滚动，再次回

    到出发点时，圆A一共滚了多少圈？

    (a)

    (b)3

    (c)6

    (d)

    (e)9

    接下来，我给大家准备了不同风味的大餐。

    8张白纸桌子上放着8张同样大小的正方形白纸，纸张的边缘构成如下

    图案。其中，完全露在外面的白纸只有1张，被标上了数字1。

    找出第二层白纸并标上2，找出第三层纸并标上3，以此类推，你能给所有白纸都标上序号吗？

    我在藤村幸三郎(Kobon Fujimura)的杰作《东京趣题集》(The

    Tokyo Puzzles )中第一次看到这类白纸问题。20世纪30—70年代，藤村

    是日本趣题之王。他出版了很多书，其中一些非常畅销。20世纪50年

    代，他还在电视上推出了每周一次的趣味问题节目。藤村深受欢迎这个

    现象，预示着现代日本趣题将蓬勃发展。21世纪初，数独游戏在国际上

    风靡一时。本章将深入介绍这类问题。

    与西方人相比，日本人更喜欢从数字中寻找乐趣，至少我两次去日

    本都有这种感受。学生们背诵乘法表时仿佛在唱轻松愉快的儿歌。把地

    铁票上的号码当游戏玩是日本人常用的消磨时间的手段。心算在这个国

    家变成了一项观赏性活动。学习珠算仍然是非常流行的课外活动，优秀

    的珠算手还可以参加巡回赛。2012年，我参加了日本全国珠算锦标赛。

    在两秒不到的时间内，参赛选手的眼前会闪现15个数，然后他们利用脑

    中想象的算盘，把这些数加起来。整个比赛既紧张刺激，又高潮迭起!

    下面这道题是我非常喜爱的一道藤村趣题。

    一分为二的正方形

    下图的大正方形由16个小正方形构成，图中展示了将大正方形

    分割成两个相同图形的两种方法。

    还有4种方法可以均分大正方形。你知道怎么分吗？

    补充说明：只能沿着内部的线条分割，而且分割出来的两个形状必

    须完全相同。也就是说，如果这些方块是薄纸板，你可以把它们叠放到

    一起，然后通过调整位置，使它们对齐。如果你需要把其中一张颠倒过

    来(也就是说，把纸板从桌子上拿起来，翻动使之上下颠倒)，才能使

    两张纸板对齐，那么这两个图形就不算完全相同。

    接下来的这道题是本书最后一道藤村趣题。这道题含有曲线，可能

    需要用到圆的面积公式：圆的面积等于π乘以半径的平方，即πr

    2 。

    翅膀与透镜

    下图是一个14个圆，其中包含两个小的半圆。请证明翅膀状

    的A部分与透镜状的B部分面积相等。

    我非常喜欢这道题，不仅是因为这个图形很有美感，还因为它让我

    想起了日本的一个传统。17—19世纪，日本人习惯在神龛和庙宇外悬挂

    装饰用的木板，上面有各种各样的几何问题。这些数学图形叫作数字

    牌，它们不仅是宗教祭品，也是日本人公布最新发现的一种形式。他们

    把数学变成了公共活动，寻求视觉娱乐，满足猎奇的欲望。我在京都的

    一座寺庙里亲眼见过一个数字牌木板。木板上有用白色和红色颜料涂成

    的各种各样的图形，包括圆、三角形、球体等，非常漂亮。数字牌上的

    几何图形结构和谐，富有艺术感。西方几何学教科书的图形纯粹是为教

    学准备的，不具备像数字牌的这种美感。数字牌问题通常只把最终图形

    绘制在木板上，图形下方有少量铭文。现存的数字牌有数百枚之多。下

    面这个数字牌问题源于名古屋附近的一座寺庙，据说它是由一个名叫重

    年田边(Tanabe Shigetoshi)的15岁男孩于1865年提出的。

    日本数字牌中的圆

    下图一共有5种大小的圆。由小至大依次是6个白色的圆、7个

    深灰色的圆、3个浅灰色的圆、1个位于三角形内部的虚线圆和1个

    由实线构成的大圆。

    请问，虚线圆的半径是白色圆半径的多少倍？这道题中绚丽的图形让你眼花缭乱，不知道该从哪里入手。但是，一旦你找到方法，知道如何用一个圆的半径表示另一个圆的半径，你就

    会发现这道题真的太美了。

    下面这道题也是由一个日本青少年设计的，而且他的年龄更小。

    1847年，东京以北大约300英里外的一座寺庙挂出了13岁少年佐藤直末

    (Sato Naosue)的数字牌。这道题比上一道题更复杂，因为你需要知道

    勾股定理——几乎所有涉及直角三角形的问题都需要应用这条定理。

    (需要回顾这条定理的读者可以回到前面第27个问题。)

    日本数字牌中的三角形

    下图中有3种不同尺寸的圆，包括2个黑色的圆、3个白色的圆

    和1个灰色的圆。请证明灰色圆的半径是黑色圆的半径的两倍。日本有使用榻榻米垫子的传统。这种垫子由稻草编织而成，脱掉鞋

    踩在上面，有一种柔软舒适的感觉。它们的形状通常为长方形，长是宽

    的两倍。

    踩在榻榻米上

    下面的图形是用榻榻米垫子拼成的。想象你正沿着垫子的边缘

    从A走到B。如果想走出最长的路径，你可能会在一开始的时候沿着

    那条最长的直线走，如第二幅图所示，先沿着顶部走，或者如第三

    幅图所示，先沿着一侧走到底。

    但是，有一种走法比这两种方法的路径更长。你知道怎么走

    吗？使用榻榻米垫子时，先要知道垫子的摆放方式有吉利和不吉利的区

    别。如果是3个垫子紧挨在一起，一定要让它们形成“T”形才吉利，上面

    这道题中的垫子就是这样摆放的。如果是4个垫子，让它们的角对齐构

    成一个“+”形的做法则是不吉利的。4个垫子相交于一点会不吉利，一些

    非常有意思的趣味问题也由此产生。

    15个榻榻米垫子

    请用2×1规格的榻榻米垫子铺满下面这个房间。注意：不得让

    4个垫子相交于一点。在做这道题和下一道题时，大家可以使用铅笔，以便做错时用橡皮

    擦掉。

    芦原伸之本来是日本的一名化学工程师，但是在一次化学爆炸中受

    伤后，他就改行从事趣味问题的设计工作了，最终成为世界趣味游戏领

    域最具影响力的人物之一。他具有(专栏)作家、玩具设计师、收藏家

    和国际会议组织者等多重身份。芦原于2004年去世，但是他极具魅力、慷慨大方、童心未泯的形象，仍然铭刻在全世界热衷趣味游戏的同人们

    心中。他最成功的作品——“尖峰时刻”玩具是一种在方格中滑动塑料汽

    车和卡车的逻辑游戏，在世界各地的销量已经超过1 000万件。

    本书开头引用的“数字树”问题就是芦原伸之设计的。此外，他还为

    榻榻米垫子的铺设问题引入了一个新的变化。下图中的房间被一条直线

    (加粗)横向贯穿，但是下一道题则要求在铺榻榻米垫子时不得出现横

    贯房间的直线。

    芦原伸之的垫子

    请用15个2×1的榻榻米垫子铺满上一题中的房间。注意：不得

    出现横贯房间的直线，但是允许4个垫子相交于一点。但是，并非所有房间都是矩形!例如，下道题中的房间被楼梯占去

    了两个角。

    讨厌的楼梯

    如下图所示，如果上面两道题中的房间有两个相对的角被切

    掉，用14个垫子就可以铺满整个房间。而且，这样做既不会留下空

    隙，也不会重叠。(垫子的摆放方式不受任何限制。)现在，我们

    把房间扩大，变成6×6的规格，仍然为楼梯留出两个角。请证明，在不留间隙、不发生重叠的情况下，用17个垫子不可能铺满这个新

    房间。

    但是，楼梯并不一定总位于房间的角落!在下面这道题中，楼梯占

    用的两格是随机的。

    位置不定的楼梯

    建筑师决定不把楼梯放在6×6房间相对的两个角。如下图所

    示，如果房间里的方格像国际象棋的棋盘一样分成黑白两色，且一

    个楼梯在白色方格中，另一个楼梯在黑色方格中，试证明在不留空

    隙、不重叠的情况下，可以用17个榻榻米垫子铺满整个房间。每个

    垫子可以覆盖相邻两个方格，除不可占用预留给楼梯的方格外，铺

    设方式不受任何限制。

    解题时，你需要证明无论楼梯在什么位置，均可以用17个垫子铺满

    房间，而不是只证明楼梯位于某个位置时的可行性。

    我在《卫报》专栏发布了下面这道题之后，遭到了几位建筑师的嘲

    笑。他们认为这道题太简单了，因为答案是英国家装设计中的一种常见

    结构。他们的反应清楚地反映了一个现象：有的问题对于某些人来说难

    于上青天，但对于另一些人来说却易如反掌。

    木板问题以下是一个三维木质结构的俯视图和前视图，已知该结构的侧

    面都是平直的，请至少画出一个左视图。

    在绘制这些图形时，所有可见边都要用实线标出，而不可见边则必

    须标记为虚线。因此，下面给出的结构(由两个正方形面板构成，这两

    个面板有一条公共边，且分别凿有一个正方形的小孔)不符合本题要

    求，因为它的侧视图、俯视图和前视图都有表示不可见边的虚线(如图

    所示)。当然，根据题意，答案中的侧视图可以包含不可见边，但是，俯视图和前视图则不得含有不可见边，因为题目给出的俯视图和前视图

    中都没有虚线。

    这里有必要提醒大家，该结构是木制的，所以各部件都不可能太

    薄。

    接下来的两个问题将把我们带到住宅内部。

    波罗米昂环(Borromean ring)是一个迷人的数学模型。三个环以一种神奇的方式结合在一起，如果取走其中任何一个环，剩下的两个环

    就会彼此分离。(如果这些环是由坚硬的材料制成，在相互重叠时就会

    产生扭力，各个环之间就会形成一个较小的倾斜角，但从下图中我们看

    不出这个微小的变化。)让我觉得有意思的是，任意两个环都没有彼此

    相连，但三个环在一起却无法分开。波罗米昂环经常被用来象征相互依

    存的三方关系，例如，基督教的肖像画就用它来代表三位一体。

    波罗米昂环

    波罗米昂环得名于意大利文艺复兴时期的波罗米昂家族，因为他们

    的外套衣袖上印有三个锁在一起的环，但其实这种将三个物体结合到一

    起的方式在更早的时间就出现了。现在，作为维京文化的一个象征，由

    三个锁在一起的三角形构成的“死亡战士之结”(Valknut)经常出现在文

    身、吊坠和重金属风格的T恤衫上。

    “死亡战士之结”

    如果取走波罗米昂环中的任何一个环，整个结构就会分崩离析。下

    面这道题中的结构具有同样的特点。

    墙上的照片

    用两根钉子挂照片的正常方法是把绳子挂在两个钉子上，如下

    图所示。

    用两颗钉子的好处之一是：如果一颗钉子脱落，照片也不会掉

    下来，而是会挂在剩下的那颗钉子上。

    你能否想到一种方法，当把绳子绕在两颗钉子上时，只要其中

    一颗钉子脱落，照片就会掉下来。(需要的话，绳子可以任意延

    长。)圆环和家居用品让我们自然而然地想到“餐巾环”这个数学概念。在

    球体上钻一个圆柱形的洞，并使它的中心线经过球心，剩余的部分就是

    一个餐巾环。下面这道题给出的信息非常少，所以难度很大。

    值得一看的餐巾环

    餐巾环的深度为6厘米，它的体积是多少？

    这道题需要费点儿力气，但是不用担心，我会带领大家一起做。相

    信我，这道题值得一做。

    餐巾环的体积等于球的体积减去球体中心被挖取部分的体积，而被

    挖取部分的形状与圆柱体非常接近，但顶部和底部各有一个圆顶。我在下图中标注了圆柱体的高度——6厘米。设球体的半径为r ，圆

    顶的高度是h ，圆柱截面的半径(也就是圆顶底部的半径)是a 。下面

    是大家需要知道的体积计算公式：

    球体的体积：

    圆柱体的体积：πa2 ×6，即6π a2

    单个圆顶的体积：

    胜利就在眼前了。餐巾环的体积等于球体的体积减去圆柱体的体

    积，再减去两个圆顶的体积。利用勾股定理，a 可以表示成r 的形式，h

    也可以表示成r 的形式。所以，餐巾环的体积可以写成仅包含一个变量r

    的表达式。该表达式很长，里面有大量的r 和π……

    赶紧动手吧!

    历史学家希罗多德(Herodotus)说，几何学源于埃及，因为埃及人

    需要测量被尼罗河淹没的耕地面积。现在，我们在学习几何学时，先需

    要学会计算正方形和矩形的面积——相邻两边边长的乘积。掌握这个简单的计算方法之后，就可以解决日本发明家稻叶直树

    (Naoki Inaba)提出的“面积难题”(Menseki Meiro)了。

    下面举一个例子，帮助大家掌握这类题的解法。请大家找出下图

    中“？”代表的值。图中线段的长度都不精确，所以不能通过测量得到答

    案。

    这道题的精妙之处在于，解题时必须使用几何方法，必须使用整

    数，而不允许使用方程，更不允许使用分数。要解决这道面积难题，可

    如下图所示，将大矩形补全。A的面积是20平方厘米，因为它的面积等

    于4厘米×5厘米。也就是说，A与它下方矩形的面积之和是：20平方厘

    米 + 16平方厘米= 36平方厘米。这个面积和左侧大矩形的面积相等。既

    然高度相同，宽就必然相等，也就是说，“？”代表的值是5厘米。

    面积难题

    求出下图中灰色长方形的面积。稻叶直树可能是当今世界健在的最多产、最优秀的推理题设计师，但出了国门之后，他的作品就鲜为人知了。事实上，在稻叶等人以及

    《尼克利》(Nikoli )杂志社的努力下，日本对趣味问题的热衷程度堪

    称世界之最。

    你可能没听说过尼克利这家公司，但你一定听说过数独。20世纪80

    年代中期，数独第一次出现在《尼克利谜题交流》(Puzzle

    Communication Nikoli )杂志上。尼克利从美国杂志《戴尔铅笔填字游

    戏》(Dell Pencil Puzzles and Word Games )中引入了这个名为“填数

    字”的游戏，并将其更名为“数独”。下面，我将对数独做一个简单介

    绍，以免你近年来孤陋寡闻，不知道数独(以及榻榻米垫子)为何物。

    所谓数独，就是一个包含若干个给定数字的9×9网格。解题者在填数字

    时要保证每个数字在每行、每列以及每个3×3小宫格中只出现一次。

    1986年，尼克利决定借鉴纵横填字谜的方式，使给定数字构成对称图

    形。至此，数独引起了广泛关注。尼克利的这个调整非常奏效，在日本

    国内取得了巨大成功。英国演说家韦恩·古尔德(Wayne Gould)在日本

    度假时发现数独问题之后，用电脑程序制作了一些数独网格，然后供稿

    给几家报纸，其中包括伦敦的《泰晤士报》(The Times )。2004年年

    底，《泰晤士报》上首次刊登了数独游戏。几个月之内，数独就在多家

    报纸上占据了一席之地，成为每天必不可少的一个内容。自尼克利于1980年发行季刊以来，该公司已经发表了大约600种不

    同类型的趣味问题，但是，令尼克利声名大噪的这些趣味问题却不是它

    自己的发明。这的确有些讽刺。尼克利的特色产品是像数独这样的网格

    问题，要求答题人将网格(通常是正方形网格)填充完整。数独问题的

    魅力之一是对细节的关注，给定的元素通常在网格里构成对称图形，或

    者是经过精心设计的造型。规则通常都非常简单，用铅笔慢慢将网格填

    完整，总能给人一种心满意足的愉悦感，令人欲罢不能。对像我这样的

    人而言，数独与涂色游戏一样，是一种有益身心健康的活动。为了让大

    家也爱上这个游戏，我会举4个例子。

    尼克利的杂志发行量大约为5万份，读者群不仅包括喜欢答题的

    人，还包括大量趣味问题的设计人员。这些设计人员每年都会为杂志提

    供数百条建议。下一道题——“四方形问题”(Shikaku)，就源于21岁的

    大学生安福义直(Yoshinao Anpuku)提供给尼克利的创意。后来，安

    福加入了尼克利公司，现任该公司编辑室执行主任。

    四方形问题

    四方形问题要求答题人将方格分割成矩形或正方形

    的“宫”(box)，方格中给出的数字表示该数字所在宫的面积，即宫包

    含的单元格的数量。

    下面，我带大家一起完成这道题。下图中的A是题目给出的初始方

    格，C是分割后的最终方格，所有矩形和正方形的宫均已被标出。做这

    类题时，从初始方格中最大的数字入手比较好，因为它所在宫的形状与

    位置通常会受到诸多限制。本题中最大的数字是9，面积为9的宫只能是

    9×1的矩形或者3×3的正方形。由于横竖两个方向都没有连续9个空白的

    单元格，所以它只能是一个正方形的宫，且位置唯一，如B所示。同理，唯一一个包含数字8、面积为8的矩形宫与唯一一个包含数字6、面

    积为6的矩形宫也只能位于图中所示的位置。这些宫被确定之后，就可

    以顺利地推理出其他宫的位置了。

    接下来，该你们一试身手了。

    尼克利的创始人锻治真起(Maki Kaji)对赛马尤为痴迷，公司的名

    称就源自1980年爱普森德比大赛中爱尔兰人训练的那匹夺冠呼声不高的

    赛马。2008年，我第一次在东京见到锻治。他告诉我，他有两大爱好：

    第一个是收集橡皮筋，第二个是看到包含乘法口诀的车牌[例如，23

    06(2×3 = 6)，77 49(7×7= 49)]，就会拍照留念。2016年第二次见

    面时，他说他收集橡皮筋的爱好仍在继续，而且刚刚收集到一些泰国和匈牙利产的珍品。此外，包含1到9的乘法口诀的车牌的拍摄工作也已经

    完成了大约85%。他说：“就快大功告成了，但是我给自己制定了一条

    规则：我不会有意识地寻找这些乘法口诀。只在不经意间碰到时，我才

    会拍摄照片。”

    数回

    数回(Slitherlink)游戏要求答题人用横线或竖线把各个点连接在

    一起，构成唯一的环路。方格中的数字表示包围该数字的线条数，也就

    是说，1的周围有1条线，2的周围有两条线，以此类推。如果方格中没

    有数字，则表示不知道周围有几条线。最后得到的环路不得与自身相

    交，也不得有岔路。

    图A中包含数字0，这表示它们周围没有线条，因此我们显然应该

    从0入手。如图B所示，在0的周围画上“×”，表示那些地方没有连线。其

    中一个×在3的旁边，表示3周围的3条线只有一种画法，把这3条线画

    好。接下来，我们在图C中让环路继续向上延伸。要绕过数字2，只有一

    条路可走。注意，我在图B中还做了a 、b 、c 和d 这4个标记，表示从两

    个3中间的那个点出发，一共可以画4条线。环路必须通过这个点，因为

    一个单元格周围有3条线时，所有4个顶点都必须用到。环路不能既经过

    a 又经过b ，也不能既经过c 又经过d ，否则就会形成岔路，而岔路是不

    允许出现的。因此，从两个3中间穿过时，环路必须走另外两边。我们

    在图C中把这两条通路画好。整个环路完成之后，就会出现图D所示的

    结果。下面是我给大家准备的一道题。记住，只能有一条环路，不得交

    叉，也不能有岔路。答案只有一个，而且只能根据逻辑推理得出答案。数回是锻治真起最喜爱的尼克利趣味问题之一，也是我的最爱之

    一。随着环路慢慢地延伸，逐渐布满整个方格，巨大的满足感会油然而

    生。

    递减高尔夫

    尼克利的趣味游戏不断推陈出新，递减高尔夫(Herugolf)就是该

    公司近来推出的一款新游戏。打高尔夫球时，球越靠近洞口，选手击球

    的力度就会越小，尼克利从中受到启发，设计出递减高尔夫这款游戏。

    在游戏中，你需要不断击打小球(用圆圈表示)，使其进入相应的

    洞(用字母H表示)。圆圈中的数字表示球受到第一次击打后前进的距

    离(单元格数)。如果没有一杆进洞，即没有到达标有H的单元格，那

    么第二次击打时球前进的单元格数就会减1。如果第二次击打仍然没有

    达到H，则第三次击打时前进距离再减1，以此类推。因此，标有3的小

    球(以下简称3号球)有3种进洞路线：第一，正好前进3格进洞；第

    二，前进3格，再前进2格进洞；第三，前进3格，再前进2格，之后前进

    1格进洞。小球只能沿水平或垂直方向前进，每次击打时，可以保持之

    前的击打方向，也可以改变方向。小球的前进路线不得相交；必须保证击打后小球最终正好进洞；每

    个球洞只能进一个球；阴影部分是障碍区，击打时可以穿过障碍区，但

    不得让小球停留在该区域。

    在给出的示例中，A是初始方格。我们先要查看是否可以确定某些

    小球的第一次击打方向。左上角的3号球在第一次击打后必须前进3格，但是它不能沿水平方向运动，否则就会停留在障碍区。因此，这个小球

    只能朝下方运动，如图B所示。同理，它斜下方的3号球也只能朝下方运

    动，因为沿水平方向击打就会使它停在障碍区。这两个3号球遭到第二

    次击打后都只能前进2格。由于路线不得相交，所以从左上角出发的3号

    球必须继续向下，前进2格后正好进洞。另一个3号球则必须水平运动，因为再向下2格后，第三次击打只能让它前进1格，无法进洞。而在水平

    方向上前进2格后，这个3号球也正好进洞。图C是游戏顺利结束后的最

    终方格。

    下面，该你击球了!

    装电灯泡

    接下来，我向大家介绍最后一道尼克利问题——装电灯泡

    (Akari)。这道题的灵感来自现实生活：在房间里装电灯泡。根据题

    目要求，答题人需要安装电灯泡(用圆圈表示)，以照亮整个方格。黑

    色单元格中的数字表示需要在该单元格上、下、左、右安装的电灯数

    量。每个灯泡都可以照亮它所在行、列上所有不被遮挡的单元格。周围

    没有数字的单元格里既可以安装灯泡，也可以不安装。最终，所有白色

    单元格必须被照亮，但所有灯泡都不得被其他灯泡发出的光照到。

    在给出的示例中，图A是一张空白的方格。根据规则，数字表示水

    平和垂直方向上邻近灯泡的个数，也就是说，在水平与垂直方向上与数

    字4相邻的所有单元格中都有灯泡。同理，在水平与垂直方向上与数字0

    相邻的所有单元格中都没有灯泡，因此我在这些单元格中画上了圆点，如图B所示。与4相邻的单元格中有两个同时也与数字2相邻，说明数字2

    另外两侧就不能有灯泡，因此我在2上方和左方的单元格中也画上圆

    点。接下来，请参看图C。图中箭头表示上图中4个灯泡可以照亮的行与

    列。数字3上方的单元格可以被其中一只灯泡照到，因此这里不能安装

    灯泡，这同时表明数字3的其他三个相邻位置都应该安装灯泡。根据推理，a 的位置需要安装一只灯泡，因为要照亮这个单元格，而其他所有

    安装位置要么被加上了无灯泡标记，要么在其他灯泡的照明范围之内。

    本题最终答案如图D所示。

    接下来，请大家按照同样的方法，照亮下面这个方格。在最后一道几何问题中，我将请大家为奇形怪状的房间安装灯泡。

    下图所示是一个房间的水平截面。图中灯泡是房间中唯一的光源。

    打开电灯，图中用粗线标示的那堵墙就会整体处于阴影之中。(假设墙

    面不反光。)

    黑暗的房间

    请设计一个只安装了一盏电灯且所有墙面均为平面的房间，使

    电灯打开时，所有墙面整体或部分处于阴影之中。

    要求：所有墙面必须彼此相连，不得有独立的墙体，且墙体的

    边缘不得向外伸出。暖身趣味十题

    你连12岁的孩子都不如吗？

    游戏规则：不得使用计算器!

    (1)下面有5块拼图板，用其中4块可以拼成一个矩形。请问，哪一块是多余的？

    (2)把下列分数按照由小到大的次序排列，排在中间的是哪一

    个？

    A. B. C. D. E.

    (3)

    This sentence contains the letter e _____ times(字母e在这

    句话里出现了___次)

    seven(7)eight(8)nine(9)ten(10)eleven(11)上面给出的5个单词中，有几个单词填入上面的空格，可以使句

    子成立？

    A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

    (4)下图是居住在非洲中西部班图人居住区的乔克维人

    (Tchokwe)画的沙画(Lusona)。整个图案是用一根木棒在沙地

    里一笔画成的，起点与终点重合，绘画过程中木棒没有离开沙地。

    请问，起点可能是哪个位置？(在线条相交的地方，线条断开表示

    这个部分是先画的，没有断开的线条覆盖在断开的线条之上。)

    (5)下列哪个算式的得数可以被从1至10(含)的所有整数整

    除？

    A. 23×34 B. 34×45 C. 45×56 D. 56×67 E. 67×78

    (6)

    红桃K说：“果馅饼是我偷的。”

    梅花K说：“红桃K在说谎。”

    方块K说：“梅花K在说谎。”

    黑桃K说：“方块K在说谎。”4个人中有几个人在说谎？

    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 信息不足，无法判断

    (7)给一个立方体上色，有公共边的两个面必须为不同颜色，请问最少需要多少种颜色？

    A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6

    (8)祖母坚信自己越活越年轻，因为根据计算，她的年龄是我

    的4倍，但是5年前，她的年龄是我的5倍。我和祖母现在的年龄之和

    是多少？

    A. 95 B. 100 C. 105 D. 110 E. 115

    (9)把下面的□换成+或者-，使最终得数为100。

    123 □ 45 □ 67 □ 89

    设+号的个数是p ，-号的个数是m ，则p -m 等于多少？

    A. -3 B. -1 C. 0 D. 1 E. 3

    (10)下面的图案是用两种大小的正方形瓷砖拼成的，一种瓷

    砖的边长是1，另一种的边长是4。现在，在一个非常大的房间里，用这两种瓷砖铺成大量这样的图案，需要使用的绿色瓷砖与白色瓷

    砖的块数之比与下面哪个答案最接近？

    A. 1∶1 B. 4∶3 C. 3∶2 D. 2∶1 E. 4∶1鸡与数学

    现实生活中的趣味问题

    本章将讨论我们在现实生活中遭遇的难题，有的问题与锅碗瓢盆、引信、汽车、土豆等常见物品有关，有的问题则与日常生活中的某些情

    境有关，例如赛跑、乘飞机旅行等。下面这个购物问题在本书介绍的所

    有趣味问题中属于历史最久远的。

    100只鸡

    公鸡的价格是5枚硬币，母鸡的价格是4枚硬币，小鸡的价格是

    14枚硬币。买100只鸡，一共用去了100枚硬币，请问公鸡、母鸡

    和小鸡分别有多少只？

    这个问题是中国数学家甄鸾在6世纪中叶提出来的，但同一类型的

    问题(即用100个单位的货币购买3种动物且动物总数正好是100)出现

    的最早时间还要向前推一个世纪，地点也是在中国。

    这个问题设计得非常高明，表述简明扼要，答案却不那么一目了然。如果硬猜答案，很快就会令人头晕目眩。深受中国人喜爱的“100只

    动物”问题后来传到了印度、中东和欧洲。阿尔昆在《青少年趣味智力

    问题》中列出了三个版本：公猪、母猪和小猪，价格分别为10个第纳里

    厄斯、5个第纳里厄斯和12个第纳里厄斯；马、牛和羊，价格分别为3

    个苏勒德斯、1个苏勒德斯和124个苏勒德斯；骆驼、驴和羊，价格分

    别是5个苏勒德斯、1个苏勒德斯和120个苏勒德斯。 [1]

    他把第三个版

    本称作“东方商人问题”，或许是向问题发源地——世界的东方致敬吧。

    当今的读者在遇到这类问题时，第一反应是列方程。设买了x 只公

    鸡、y 只母鸡和z 只小鸡，于是甄鸾的问题就变成了下面这种形式：

    (1)x + y + z = 100(一共100只鸡)

    (2)5x + 4y + z 4 = 100(一共100枚硬币)

    只要解方程组，就能得出答案。

    但是，甄鸾、阿尔昆和他们那个时代的人是利用试错法找出答案

    的。他们没有借助代数，因为那时候代数还没有出现呢。

    利用方程求解这道题要简单得多，也可以带给我们更多乐趣。事实上，我之所以喜爱“100只动物”问题，就是因为它们与其他几类问题一

    起，很早就展示了代数方法的强大功能。“100只动物”问题不仅突出地

    展示了这些新的数学方法的解题效率，问题本身也极具趣味性，因此，中世纪以及文艺复兴时期的数学家对这类问题进行了不断深入的研究。

    代数是数学的一个分支，它的特点是利用x 、y 、z 等符号表示方程

    中的数及数量。代数这个名称来自阿拉伯语中的“al-jabr”，意思是还

    原。9世纪，巴格达学者花拉子密(Al-Khwarizmi)用这个词表示数学

    的一种操作，即在方程一边去掉某项内容，然后在方程另一边“还原”这

    项内容。花拉子密借助这种方法及其他方法，研究出了简单方程的解

    法。随后，出生于9世纪的埃及数学家阿布·卡米勒(Abu Kamil)等人

    纷纷撰文，详细阐述了花拉子密的这些想法。在其中一篇讨论用100个

    单位的货币购买100只家禽的文章中，卡米勒说：“据我所知，有一种问

    题受到所有人的喜爱，无论出身高贵还是贫贱，无论学富五车还是不学

    无术，都会因为它的题型新颖、趣味横生而深受吸引。但是，人们在讨

    论这些问题时，却因为应用的原理不够明晰，方法不够系统，而无法给

    出准确的答案，或者仅仅是提出了各种猜测……所以，我决定写一本

    书，帮助大家更好地理解这类问题。”

    接下来，我们来解决前面提出的问题。我们列出了两个方程：

    (1)x + y + z = 100

    (2)5x + 4y + z 4 = 100

    通常要解此类方程(课本称之为联立方程)，方程的个数不能少于

    未知数的个数。也就是说，如果有3个未知数，我们就需要3个方程。

    而现在我们只有两个方程。不过，题目中还给出了一些其他信息，足可保证本题有解。我们可以断定，出售的家禽数不能是12只、14

    只，也不可能是负数。(我们还可以断定，每种家禽都要至少买一只。)也就是说，x 、y 和z 的值都必须是正整数，而且都小于100。

    现在，让我们来解方程吧。首先，我们把方程(2)乘以4，去掉分

    母：

    (3)20x + 16y + z = 400

    利用“还原”法，把方程(3)变形为：

    z = 400 –20x – 16y

    代入方程(1)，得到：

    (4)x + y + 400 – 20x – 16y = 100

    整理后为：

    19x + 15y = 300

    至此，我们得到了一个二元方程。由于有其他限制条件，所以可求

    得该方程的解。通过简单的试错，就会发现符合条件的正整数值只有一

    组，即x = 15，y = 1。(运用试错法时，请注意300可以被5整除这个特

    点。由此可知，19x + 15y 可以被5整除。由于15y 可以被5整除，所以

    19x 肯定也可以被5整除，从而说明x 是5的倍数。因此，x 的值只有三种

    可能，即x = 5、10或15，但是前两个值代入后，方程无解。)因此，z

    = 100 – x – y = 100 – 16 = 84。

    正确答案是：15只公鸡、1只母鸡和84只小鸡。

    卡米勒在文中指出，这类问题的解分为唯一解、无解和多个解三种

    情况，具体情况取决于三种家禽的价格。下面这个问题是他举的另一个

    例子。

    百禽问题

    用2枚德拉克马银币可以买1只鸭子，用1枚德拉克马银币可以

    买2只鸽子或者3只母鸡。如果用100枚德拉克马银币买鸭子、鸽子

    和母鸡，一共买了100只，则鸭子、鸽子和母鸡分别买了多少只？

    请给出6种答案。

    中世纪的阿拉伯学者除了设计新的数学问题以外，还从印度引入了

    由包括0在内的10个数字组成的数字系统。大约在13世纪，阿拉伯数字

    (1、2、3、4、5、6、7、8、9和0)传到了欧洲。比萨的列奥纳多

    (Leonardo of Pisa) [2]

    是最早使用阿拉伯数字的欧洲人之一，他的

    《计算之书》(Liber Abaci )不仅介绍了计算与测量方面的内容，还介

    绍了一些算术难题。例如，下面这道只有唯一答案的鸟类问题：用30第

    纳里厄斯银币买了30只鸟，其中鹧鸪的价格是每只3枚银币，鸽子每只2

    枚银币，麻雀每只12枚银币。(我把这道题留给大家自行解决。)

    在随后的300年里，几乎所有的文艺复兴时期的一流数学家都提出

    过鸟类问题，内容主要与画眉鸟、云雀、乌鸦、捕蝇鸟、阉鸡、椋鸟、鹅等飞鸟及家禽的降价销售有关。这些问题不仅具有娱乐价值，也为欧

    洲南部文化史增添了鸟类学(以及烹饪)方面的内容。

    只要学会一道鸟类问题的解法，你就能触类旁通，再遇到其他同类

    问题时，你都会胸有成竹：把问题变成联立方程的形式，然后求整数

    解。

    还有很多其他类型的问题也需要列出联立方程。通常，方程的个数

    比未知数少，所以必须巧妙地借助试错法，或者敏锐的数学头脑，才可

    以找出答案。下面这道题是我的最爱，不仅因为它的已知信息似乎严重不足(包含4个未知数，却只有两个方程)，而且题中使用的数字正好

    是一个品牌名称。

    7-11便利店

    一名顾客走进一家7-11便利店，买了4件商品。

    收银员说：“一共7.11英镑。”

    顾客说：“这也太巧了!”

    收银员说：“是的。我把这4件商品的价格相乘，就算出了它

    们的总价。”

    “不应该是相加吗？”

    “相加的话，我也没意见，因为结果是一样的。”

    这4件商品的价格分别是多少？

    要解决这个问题，需要了解几个简单的数学事实。首先，我们需要

    知道素数(也称质数)是指只能被它自身和1整除的整数。排在前几位

    的素数是：

    2、3、5、7、11、13、17、19……

    其次，我们需要知道最重要的素数基本规则——算术基本定理，即

    所有整数都可以写成若干素数乘积的唯一形式。例如：

    60 = 2×2×3×5

    711 = 3×3×79123 456 = 2×2×2×2×2×2×3×643

    任何整数都可以被分解成若干素数的唯一乘积。你只需要知道这条

    规则是成立的就可以了，即使不知道这条规则叫什么也没关系。

    最后，借助算术基本定理，可以列出一个方程，帮助我们解决上面

    这道题。

    在将较大的数分解成素数的乘积时，我们可能需要使用计算器或者

    电脑。但即便如此，这仍然是一道非常有意思的问题。

    大家知道，19世纪的伟大数学家西莫恩·德尼·泊松(Siméon Denis

    Poisson)与好莱坞动作片明星布鲁斯·威利斯(Bruce Willis)之间有什

    么联系吗？答案是他们都成功地解答了下面这道题。事实上，据泊松的

    传记作者称，正是因为受到这个问题的启发，这位年轻的法国人才从此

    走上了研究数学的道路。他在书中写道：“尽管在这之前他从未学习过

    类似的内容，尽管他对代数的概念与方法一无所知，但在看到这个闻所

    未闻的问题之后，他没有任何犹豫，而是亲自动手，找到了正确的解

    法。从那天起，他的内心就萌生了一种对数学的热爱。他知道他绝不应

    该放弃，恰恰是这份执着开启了他的辉煌数学之路。”真应该干一杯以

    示庆祝!

    对于布鲁斯·威利斯来说，这个问题同样具有催人奋发的积极意

    义。在电影《虎胆龙威3》(Die Hard: With a Vengeance )中，威利斯

    和塞缪尔·L. 杰克逊为了拆除定时炸弹，联手破解了这道难题。这道题

    没有难住威利斯和杰克逊，应该也难不倒你吧？

    三个酒坛你有一个8升的酒坛，里面装满了酒。此外，你还有两个5升和

    3升的空酒坛。三个酒坛上面都没有刻度。请在其中一个酒坛里不

    多不少装上4升酒。

    这道题最早出现在13世纪的一部编年史著作中，作者阿尔伯特

    (Albert)是汉堡市附近施塔德镇的一家修道院的院长。这部中世纪史

    书以蒂里和菲里两名修士对话的形式，详细描述了朝圣者留下的足迹。

    伴随着欢声笑语，这两名修士讨论了几道数学趣题。一次，蒂里抛出了

    这道三个酒坛的问题，同时开玩笑地对菲里说：“如果分不好，就别想

    喝。”

    这道题的解法很有趣，标准做法是将酒在三个酒坛之间倒来倒去。

    大家在阅读下文之前，可以先自己动手试试，看看会得到什么样的结

    果。

    接下来，我们改用台球在非传统形状的台球桌上来回反弹的方法，解决三个酒坛的问题。

    下图是一个偏菱形台球桌，边长分别是5个单位和3个单位，桌面由

    一个个等边三角形构成。我把三角形的边都画出来了，目的是建立一个

    坐标系。水平方向上的是x 轴，倾斜的是y 轴。

    从下图可以看出，把球放在 (5,0) 的位置上，然后沿三角形边线方

    向撞击台球，台球就会在 (2,3)、(2,0)、(0,2)、(5,2) 和 (4,3)等位置连续反弹。(假设从数学上讲，台球桌没有摩擦力，台球反弹的实际线路与

    我们预想的线路完全一致。)

    现在，我们假设开球位置是 (0,3)，台球就会依次经过(3,0)、(3,3)、(5,1)、(0,1)、(1,0)、(1,3)、(4,0)等位置。

    请大家认真观察这些坐标：这些数字看上去是不是有点儿眼熟？我希望你也有这样的感觉!因

    为它们就是三个酒坛问题的两个答案。

    为避免混淆，我们把5升酒坛称为酒坛A，把3升酒坛称为酒坛B。

    刚开始时，A与B都是空的。

    先把A装满，此时这两个酒坛的状态是A = 5升、B = 0升，记作

    (5,0)。

    现在，把A中的酒倒入B中。B装满后有3升酒，A还剩下2升酒。

    A、B两个酒坛当前的状态是(2,3)。

    将B中的酒全部倒入第三个酒坛。现在，A、B两个酒坛的状态是

    (2,0)。将A中剩下的酒倒入B中，A、B两个酒坛的状态为(0,2)。

    将A再次装满，A、B两个酒坛的状态为(5,2)。

    将A中的酒倒入B，A、B两个酒坛的状态为(4,3)。

    A中现在装有4升酒，问题解决了。

    A与B中酒的数量变化正好对应从(5,0)处开球后各个反弹点的坐

    标。

    所以，如果我们在解题时先把B装满，A与B中酒的数量就正好对应

    从(0,3)处开球后各个反弹点的坐标。

    这个借助球在台球桌上的反弹路线解决三个酒坛问题的巧妙方法，是英国统计学家特威迪(M. C. K. Tweedie)于1939年发明的，当时他

    才20岁。球每次在偏菱形球桌上反弹之后都会改变前进的方向，同时会

    告诉我们下一个解题步骤。

    下次再遇到同类问题，比如一个特定容积的容器里装满液体，此外

    还有两个小一些、容积分别为X和Y且没有刻度的空容器，那么，你只

    需制造一个边长分别为X和Y的偏菱形台球桌，再准备几个台球，就可

    以解决问题了。威利斯和杰克逊，如果你们也在看这本书，赶紧做好笔

    记吧。

    两个水桶

    你站在小河边，手上分别有一个7加仑 [3] 和一个5加仑的水

    桶。如何用最少的装水次数，在桶中装入6加仑的水？在利用几个容器来回装液体这个办法之后，人们还想出了一些其他

    有趣的问题。

    加奶咖啡问题

    瓶中装有纯咖啡，碗中装有牛奶。你在牛奶中倒入一些咖啡，再将混有咖啡的牛奶倒回瓶子里，使瓶子和碗中的液体恢复到之前

    的量。此时，是碗中的咖啡多，还是瓶中的牛奶多？

    上面这道题是为早餐准备的，下面这道题则是为午餐或晚餐准备

    的。

    水和酒

    你有两个坛子，分别装有1品脱 [4] 酒和1品脱水。将半品脱

    水倒进酒中，搅拌。现在，装酒的坛子里有1.5品脱的酒水混合

    物。将半品脱酒水混合物倒进装水的坛子里，使两个坛子各装有1

    品脱的液体，再搅拌。以每次半品脱的量，继续在两个坛子间来回

    倒酒水混合物。多少次之后，两个坛子中酒的比例正好相等？

    在两个容器间来回倒的不一定都是液体，有时是沙子。下面这道问

    题中使用的量度不是体积，而是时间。

    精彩一刻钟

    给你一个7分钟的沙漏和一个11分钟的沙漏，如何测量一刻钟

    的时长。

    我来告诉你应该从何处入手解决这道题。我们有两个沙漏，所以一

    开始的时候必须把它们同时颠倒过来。如果只颠倒其中一个，就只能测

    量出7分钟或者11分钟，这样一来，我们又回到了问题的起点。

    请大家认真研究题目给出的数字，因为解题离不开这些数字。两个

    沙漏分别可以测量7分钟和11分钟，而题目要求测量15分钟。7与11的差

    是4，11与15的差也正好是4，因此我们可以采取下面这个方法。

    先把两个沙漏同时颠倒过来。7分钟之后，那个7分钟沙漏里的沙流

    完了，而11分钟沙漏里的沙还可以流4分钟，这个时间差正是我们需要

    的。因此，15分钟的计时可以从这个时候开始。如上图所示，4分钟之

    后，11分钟沙漏里的沙也流完了。我们迅速将它颠倒过来，等沙子流完后，就正好完成了总共15分钟的计时。

    但是，这个方法不是最佳答案，因为一共用时22分钟才完成了一刻

    钟的计时。大家可以找出一个更好的方法。

    令人头晕眼花的引信

    你有一些1小时燃尽的引信。但是，这些细长的引信并不均

    匀，燃烧速度时快时慢。如果你将它剪成两半，每半根引信燃烧的

    时间不一定是半小时。

    (1)利用两根这样的引信，测量出45分钟的时长。

    (2)利用1根引信，尽可能准确地测量出20分钟的时长。

    这些燃烧不均匀的引信告诉我们一个事实：借助敏锐的数学头脑，我们可以消除燃烧不均匀的影响，完成准确计时。就这样，数学完胜物

    理，也赢得了我的喜爱。

    下面这道题将教会我们如何克服材料的缺陷。

    偏倚的硬币

    抛掷一枚质地均匀的硬币，得到正面或反面的可能性是各一

    半。假设你有一枚质地不均匀的硬币，抛掷这枚硬币，你得到正面

    或反面的可能性是一个确定值，但它不是各一半。那么，如何利用

    这枚偏倚的硬币，得到与公平硬币同样公正的结果呢？你需要通过某种抛掷组合，才可以得出各一半的公平结果。

    硬币是趣味问题经常使用的一个重要道具，我们将在下一章详细讨

    论硬币的应用。

    18世纪之前，弹簧单盘秤还没有出现，天平是人类仅有的称重工

    具。正因为如此，从文艺复兴开始，人们利用天平设计出大量的数学难

    题，到启蒙运动时期仍然盛行。

    接下来，我给大家演奏一首锅碗瓢盆协奏曲吧。

    分面粉

    你有一架天平，以及两个质量分别是10克和40克的砝码。如何

    通过三次称重，将1千克的面粉分成200克和800克的两份？

    假设我们有一套砝码，规格是以下6个数字(单位为千克)，其中

    每一个都是前一个的两倍：

    1，2，4，8，16，32

    利用这些砝码，可以称出1~36千克的所有整千克数。例如：

    3 = 2 + 1(即2千克砝码加1千克砝码等于3千克砝码)

    13 = 8 + 4 + 1

    27 = 16 + 8 + 2 + 163 = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1

    事实上，这6种规格的砝码组合，是可以称出1~36千克范围内所有

    整千克数的最小砝码组合。

    只要把这些砝码规格写成二进制表达式，就可以明白其中的道理。

    二进制是仅包含1和0两个数字的计数系统。二进制使用的数字就是十进

    制使用的只含有1和0这两个数字的数，比如1、10、11、100、110等。

    二进制中的1、10、100、1 000、10 000和100 000分别对应十进制中的

    1、2、4、8、16和32。因此，有了二进制数字，我们就知道如何利用上

    述两倍递增数列表示各个数字了。

    3换算成二进制就是11。

    13换算成二进制就是1 101。

    27换算成二进制就是11 011。

    63换算成二进制就是111 111。

    最后一位上的1表示1，倒数第二位上的1表示2，倒数第三位上的1

    表示4，以此类推。同理，最后一位上的0表示没有1，倒数第二位上的0

    表示没有2，倒数第三位上的0表示没有4，以此类推。比如，13换算成

    二进制就是1 101，从右至左表示1个1、0个2、1个4和1个8。换言之，13 = 8 + 4 + 1，与上文的表达式相同。

    二进制数字非常有趣，但这里不再赘述。我们回过头接着讨论天平

    与砝码的问题。

    既然砝码组合{1，2，4，8，16，32}可以表示出1~63千克的所有整

    千克数，那么我们在天平的一个托盘上放置这些砝码的某种组合，就可

    以称出1~63千克的所有整千克数。如果天平的两个托盘都可以放砝码呢？

    巴歇砝码问题

    如果天平的两个托盘都可以放砝码，要用天平称出1~40千克范

    围内的所有整千克数的质量，需要的最小砝码组合是什么？

    这个问题出现在比萨的列奥纳多于1202年出版的《计算之书》中，但它更常见的名字叫巴歇砝码问题，以法国人克劳德–加斯帕·巴歇

    (Claude-Gaspard Bachet)的名字命名(这与他喜欢在豆焖肉里加薯条

    的习惯无关 [5])。

    巴歇是趣题集的发明人。1612年，这位诗人、翻译家兼数学家将他

    收集的诸多问题整理成册，书名为《趣味数字问题》(Problèmes

    Plaisants et Délectables Qui Se Font Par Les Nombres )。我们在前面讨

    论过的很多问题，例如小船过河问题、百禽问题、三个坛子问题等，都

    被他收入到这本书中。300年里，这本书一直是趣味数学方面的“宝

    典”，这一领域后来的所有出版物都受到它的影响。不仅如此，这本书

    还把对天平问题最有名的分析也包括其中。

    巴歇对数学史的另外一个重要贡献是，将丢番图(Diophantus)的

    《算术》(Arithmetica )由希腊语翻译成拉丁语。法国数学家皮埃尔·

    德·费马(Pierre de Fermat)在阅读《算术》时，在某一页的页边空白处

    写了一句话，即他在阅读这本书时突发灵感，想到了一条定理的一个巧

    妙证法，但由于页边空白太小，他未能把证法写下来。这条定理就是费

    马大定理：当整数n >2时，关于a 、b 、c 的方程 a n + b n = c n 没有正整

    数解。在350多年的时间里，这条定理一直是数学上最著名的未解之谜，无数数学家前赴后继，试图完成对它的证明。当时，费马阅读的

    《算术》正是巴歇翻译的拉丁语版本。

    在解决新的问题之前，我们先热热身：

    你有8枚一模一样的真硬币和一枚假硬币。假硬币的外表没有

    任何瑕疵，但质量略小于其他8枚硬币。只称重两次，如何找出这

    枚假硬币？

    如果你想自己动手解这道题，就不要急着往下看。由于这道题有助

    于我们做后面的题，所以我先把它的解法告诉你。

    解法是：将所有硬币分成3组，每组3枚。我们用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字为这9枚硬币编号。我们先比较1、2、3与4、5、6

    这两组。此时，天平要么保持平衡，要么不平衡。

    如果天平保持平衡(如左图所示)，就说明质量较轻的那枚硬币在

    7、8、9这一组中；如果天平倾斜的状况如中间图所示，就说明质量较

    轻的硬币在1、2、3这一组中；如果天平倾斜的状况如右图所示，就说

    明质量较轻的硬币在4、5、6这一组中。换言之，在这三种情况下，我

    们都可以减少可选方案的数量，由九选一变成三选一。

    在第二次称重时，我们从一组3枚硬币中取两枚，分别放到天平的

    两端。如果两个托盘一高一低，高的那个托盘里装的就是质量较轻的那

    枚假硬币；如果天平平衡，就说明第三枚硬币质量较轻。问题解决了!下面这道题在“二战”期间疯狂流传，让同盟国的人绞尽脑汁。于是

    有人建议，将题目中说的那枚假硬币扔到对面去，让德国人也伤伤脑

    筋。

    一枚假硬币

    你有11枚一模一样的真硬币和一枚假硬币。假硬币的外表没有

    任何瑕疵，但是与真硬币的质量不同。你不知道假硬币比其他硬币

    重还是轻。只称重三次，你可以找出这枚假硬币，并确定它比其他

    硬币重还是轻吗？

    单盘秤与我们现在使用的数字秤一样，只有一个托盘，称重时可以

    读出物体的千克数。人们利用单盘秤，同样设计出了一些非常巧妙的假

    硬币问题。

    一摞假硬币

    你有10摞1英镑的硬币，其中9摞都是真硬币，只有一摞全部是

    假硬币。你知道1英镑真硬币的重量，还知道每枚假硬币比真硬币

    重1克。用可以称出物体重量的单盘秤，最少称重几次，可以找出

    那摞假硬币？继克劳德–加斯帕·巴歇之后，爱德华·卢卡斯(édouard Lucas)于19

    世纪末出版了大量著作，确立了其法国趣味数学领域领军人物的地位。

    卢卡斯本就是一名杰出的数学家，在素数研究方面做出过重要贡献。在

    他的著作中，卢卡斯不仅对经典问题进行了分析，还设计出新的趣味数

    学问题。下面这个有关卢卡斯的故事引自一本1915年的法语数学教材，据说“绝对是真人真事”。作者称，这个故事发生于多年前的一次科学会

    议上。一天午饭过后，几位著名数学家(其中包括德高望重的泰斗级人

    物)正在散步，卢卡斯大声说出了下面这个问题，请大家说出正确答

    案。大多数人沉默以对，只有几个人做出了回答，但他们的答案都是错

    误的。

    亲爱的读者朋友，请你也试一试吧。

    从勒阿弗尔到纽约每天中午，从勒阿弗尔都会发出一班前往纽约的客轮，同时从

    纽约也会发出一班开往勒阿弗尔的客轮。两个方向的航程都是7天7

    夜。如果今天从勒阿弗尔出发前往纽约，那么在到达纽约之前，可

    以遇到多少班从另一个方向开来的客轮？

    我非常喜爱这个问题，不仅因为这道题与轮船进出港口这样的日常

    生活琐事有关，还因为我们需要用一点儿数学知识才能找到答案。说到

    交通运输，与之相关的高水平问题还真不少，而且大多数是人们在出行

    时经常考虑的问题。

    往返旅程

    在无风的天气里，飞机从A地飞到B地，再从B地返回A地，所需

    的时间正好相等。但是，如果不是无风天气呢？有风时，往返行程

    的时间是增加、减少，还是相等，或者与风向有关？

    我们可以假定在整个往返旅程中风向一直保持恒定。显然，如果从

    A到B的去程正好顺风，此后风向突然改变，从B到A的返程也是顺风，那么整个旅程的飞行速度肯定比没有风时快。此外，我们还可以假定飞

    机是沿笔直的航线完成由A到B以及由B到A的旅程的。先考虑飞机去程

    时顺风(前半程速度更快)、返程时逆风(后半程速度变慢)的情况。

    风对旅程的影响是否正好相互抵消呢？再考虑风向与航向成一定角度时

    的情况。

    驾车做长途旅行时盯着仪表盘看，也能体会到算术的乐趣。

    里程数问题

    现代的汽车通常有两个里程表，一个是不可复位的总里程表，显示汽车总的里程数，另一个是短距离里程表，读数可以恢复到

    0。如果任一里程表所有数位上的读数都是9，那么在变为下一个读

    数时，这个里程表的所有数位都会变成0。

    假设总里程表与短距离里程表的前4位读数相同，如下图所

    示：

    在不复位短距离里程表的前提下，汽车总里程数为多少时，这

    两个里程表的前4位读数会再次相同？

    接下来，我们来看一个与跑步有关的问题。

    超越

    (1)赛跑时，你超过了第二名，请问你是第几名？

    (2)赛跑时，你超过了最后一名，请问你是第几名？

    跑步的方式

    康斯坦茨和达芙妮正在跑马拉松。竞赛类的马拉松全长是26.2

    英里。康斯坦茨以每英里8分钟的速度匀速跑完全程，而达芙妮有

    时快速冲刺，有时又会放慢速度，但跑完每英里所需的时间都是8

    分1秒。换句话说，每跑完1英里，无论在赛程的第一个1英里、最

    后一个1英里，还是赛程中间的1英里，康斯坦茨都需要8分钟，而

    达芙妮每英里的用时都比康斯坦茨多1秒钟。

    达芙妮是否有可能赢得马拉松比赛？

    我在这里稍做提示。达芙妮是有可能获胜的，但她必须找到正确的

    方法。在我看来，这个问题不是趣味问题，而应该归入悖论的范畴。有

    的悖论是逻辑悖论(前提导致自相矛盾的结论)，还有的悖论则更

    加“阴险”——问题的陈述看似荒谬，但是经过认真研究却发现并无问

    题。下面两个问题就属于后者。

    干瘪的土豆

    把100千克含水量为99%的土豆放在阳光下暴晒。一天之后，水

    分蒸发了一些，土豆含水量变成了98%。请问，现在这堆土豆有多

    重？下面这个问题选自罗斯·鲍尔(W. W. Rouse Ball)1896年版的《数

    学游戏及欣赏》(Mathematical Recreations and Essays )。这本书是第

    一部重要的英文趣味数学著作，首次出版时间是1892年，随后一共再版

    13次，最后4版于1939年、1942年、1974年和1987年面世，那时罗斯·鲍

    尔已经离世了。这4版不仅在原作的基础上做了修改，还由加拿大伟大

    的几何学家考克斯特(H. H. M. Coxeter)增补了一些内容。罗斯·鲍尔

    的职业生涯是在剑桥大学度过的，是这所高校里的一名活跃分子。其

    间，他创建了五芒星俱乐部，这是全世界最古老的魔术社团之一。遵照

    他的遗嘱，他的遗产被捐献给牛津大学和剑桥大学。后来，这两所大学

    利用这笔资金，分别设立了罗斯·鲍尔数学教授奖。

    涨薪水的方式

    你准备接受一份起始年薪为1万英镑的工作，老板让你从下面

    两种涨薪水的方式中任选一种。

    (1)A计划：每6个月涨500英镑(也就是说，任职6个月之后，下6个月的薪水将增长500英镑)。

    (2)B计划：每年涨2 000英镑。

    你会选择哪种方案？

    棘手的问题

    迪克有一根木棒，他准备将它砍成两截。如果他随意选择下刀

    的位置，那么砍成两截之后，短的那一截的平均长度是多少？

    夫妻围坐问题是流传最广的爱德华·卢卡斯问题之一。题目要求多

    对夫妻围桌而坐时，男性与女性必须交替就座，且夫妻两人的座位不得

    彼此相邻。这道题的难度远远超出了本书的范围。卢卡斯没有把这道题

    列入他的趣味数学著作中，而是以附录的形式，在一本关于数论的学术

    著作中提出来了。但是，既然大家感兴趣，我不妨透露一二。如果是两

    对夫妻，题目的要求将无法满足。如果是三对夫妻，有12种坐法；4对

    夫妻有96种坐法；5对夫妻有3 120种坐法。

    人们受到这个问题的启发，围绕聚会的话题又设计出许多精彩的问

    题。

    握手问题

    爱德华和露西邀请4对夫妻参加晚宴。每个人只和自己不认识

    的人握手。客人到齐后，爱德华问自己的妻子和8位客人分别与多

    少人握过手，结果这9个人给出的答案各不相同。那么，露西与多少人握过手？

    如果这个场合显得过于正式，那么我们换一个随意一点儿的场合。

    握手礼与亲吻礼

    爱德华与露西邀请一些朋友参加晚宴。朋友中有的是独自一

    人，有的是与异性伴侣同来。男性相互打招呼时握手一次，而女性

    无论是见到女性还是与男性打招呼都会行亲吻礼。(当然，夫妻之

    间无须行亲吻礼。)出席晚宴的所有人都与爱德华、露西以及其他

    宾客打过招呼。如果一共行了6次握手礼和12次亲吻礼，那么参加

    晚宴的总人数是多少？其中独自参加晚宴的有多少人？

    这里涉及组合的问题。有时候组合方式数不胜数，因此大家不要白

    费力气了，还是去剧院放松一下吧。记住，别忘了带上入场券。

    对号入座

    100个人排队进入剧院。剧院一共有100个座位，但是排在队伍

    最前面的一个观众找不到自己的票了，于是她随便坐到一个座位

    上。接下来入场的观众都对号入座，但如果他们的座位已经有人就

    座，他们就会随便选择一个座位坐下。

    最后入场的那名观众就座的座位号与其票上座位号一致的可能

    性有多大？本章介绍的问题都与假设的环境有关。接下来，我们考虑一些货真

    价实的环境。

    [1] 第纳里厄斯(denarius)、苏勒德斯(solidus)均为古罗马帝国发行的货币。——译者

    注

    [2] 比萨的列奥纳多即意大利著名数学家斐波那契。——编者注

    [3] 1加仑≈3.79升。——编者注

    [4] 1品脱≈0.57升。——编者注

    [5] 英文表达“weight problem”(砝码问题)还可以被理解成“体重超重问题”。——译者注暖身趣味十题

    你是地理天才吗？

    (1)欧洲城市中名字(英语)只有一个音节的最大城市是哪一

    个？

    (2)美国哪个州与非洲最近？

    佛罗里达州

    北卡罗来纳州

    纽约州

    马萨诸塞州

    缅因州

    (3)将下列城市按照由西至东的次序排列：

    爱丁堡

    格拉斯哥

    利物浦

    曼彻斯特

    普利茅斯

    (4)将下列城市按照由北至南的次序排列：

    阿尔及尔

    新斯科舍省哈利法克斯巴黎

    西雅图

    东京

    (5)将下列城市按照由北至南的次序排列：

    布宜诺斯艾利斯

    开普敦

    复活节岛

    蒙得维的亚

    澳大利亚珀斯

    (6)哪个欧洲国家与其他欧洲国家接壤最多？

    (7)将下列岛屿按照人口多少排序：

    设得兰群岛

    马恩岛

    怀特岛

    泽西岛

    马尔维纳斯群岛

    (8)全世界海岸线最长的国家是哪一个？

    (9)由于法国在海外拥有领土，并且在海外设立部门，所以法

    国是世界上跨时区最多(跨12个时区)的国家。请问，只拥有一个

    时区的最大的国家是哪一个？

    (10)阿空加瓜山、厄尔布鲁士山、乞力马扎罗山和麦金利山

    分别是南美洲、欧洲、非洲和北美洲最高的山峰，请将它们按照高

    度排序。我要栽9棵树，请你帮帮忙

    小道具趣味问题

    在所有数学游戏中，某些涉及真实事物的问题有可能是最难的。面

    对这类问题，如果不借助实物，而只靠在纸上写写画画，或者凭空想

    象，最后的结果往往是徒劳无功。借助实物解决问题，真正做到亲自动

    手，是一件令人惬意的事。不仅如此，有实物在手，解题的整个过程就

    像在摆弄一个玩具或者做游戏一样。

    这一章我们将借助硬币、火柴、邮票、纸张和绳索自娱自乐。所有

    这些都是装在你口袋或者钱包里的小玩意儿。第一个问题只需要4枚一

    模一样的硬币，如果你之前曾经和我一起乘火车出行，那么我肯定用这

    个问题为难过你。

    你能用4枚一模一样的硬币，在桌上摆出下图中的图案，使第5

    枚硬币可以毫无阻碍地平移到图中阴影部分，并与这4枚硬币接触

    吗？这道题目要求你确定4枚硬币的摆放位置，以确保第5枚硬币正好可

    以与它们接触。动手试试看吧，只盯着看是做不好这道题的。

    本题唯一的解法如下图所示，即将这些硬币排列成菱形。为确保硬

    币的相对位置保持固定，在将任意一枚硬币平移至新的位置后，都要保

    证这枚硬币正好可以接触到另外三枚硬币中的两枚。

    现在，你需要解决的问题变成了将上图所示第1步中的排列变成题

    目要求的排列，同时必须保证平移到新位置之后的硬币正好可以接触到

    三枚硬币中的两枚。具体方法参见图中的第2步和第3步。

    硬币问题通常难度不大，但是非常有趣，让你一下子就进入忘我的

    境界，直到谜底揭晓时才会恍然大悟。一般来说，这些问题的复杂程度

    远远超出我们的预期，但是经过一番思考，我们通常都能成功找到答

    案。上面这道题是亨利·恩斯特·杜德尼于一个世纪前设计的，下面这道

    题也是他的作品。

    6枚硬币

    你能用6枚硬币在桌上摆出下图中的图案，在阴影部分放入第7

    枚硬币并使之触碰到所有6枚硬币吗？

    首先，你必须先将6枚硬币排列出一个初始图案，以确定这些硬币

    的相对位置。随后，在每次将一枚硬币平移到新的位置时，都要确保它

    可以触碰到另外5枚硬币中的两枚。整个过程中，不能让硬币离开桌

    面，也不能用一枚硬币推动另一枚硬币。

    移动三枚硬币，就可以达成目标。

    硬币问题很容易让人上瘾。一旦解开了上面这道题，你就会忍不住

    想再做一题。

    三角形变直线

    移动7次，你能将下图的三角形变成直线吗？与上题要求相

    同，每次将硬币移动到新位置时，都要保证它触碰到另外两枚硬

    币。此外，不能让硬币离开桌面，也不能用一枚硬币推动另一枚硬

    币。

    下面这道题需要使用8枚一模一样的硬币。

    变化无穷的“水”

    利用上面的规则，移动4次，可以将H变成O吗？移动6次，可以将O变回H吗？

    在前文中，我们已经与亨利·恩斯特·杜德尼有过一次接触。他设计

    的史密斯、琼斯和罗宾逊问题，在20世纪30年代曾掀起一阵逻辑推理问

    题的热潮。

    杜德尼是英国也是世界最伟大的趣味问题设计师。在为报纸、杂志

    撰稿的40年职业生涯里，他设计了大量经典趣味数学问题。不仅数量之

    多无人能及，而且他从未停下创新的脚步。我在第一章中提到，杜德尼

    在《河滨杂志》长期主持“疑难问题”专栏，而就在史密斯、琼斯和罗宾

    逊问题(本书第7个问题)刊登在该专栏的当月，这位趣味问题设计大

    师离开了人世。

    杜德尼的天赋或许可以追溯至他的祖父——在英国南部丘陵地区一

    边放牧一边自学数学和天文学的牧羊人。后来，这位牧羊人成了一名学

    校老师。再后来，他的儿子也成了一名老师。但是，1857年出生的杜德

    尼却无法适应制度化的教育方式，在13岁时辍学，成为伦敦政府行政部

    门的一名办事员。后来，厌倦了工薪阶层生活的杜德尼开始设计趣味问

    题，并向全英国的出版机构投稿。最后，他成了一名全职的趣味问题设

    计者。

    杜德尼的作品不仅题材宽泛，而且内容有深度，这对于一名自学成

    才的人来说尤为难得。杜德尼拥有无比敏锐的算术头脑。在他于1907年

    出版的第一本书《坎特伯雷趣题集》(The C anterbury Puzzles )中有这

    样一道题：1和2的立方和等于9(13 + 23 = 1 + 8 = 9)，请仿照此例，找

    出另外两个立方和等于9的数字。答案是：

    和

    杜德尼称：“一位优秀的保险精算师和一名记者不嫌麻烦，算出了这两个数字的立方和。最后，他们都发现我给出的答案准确无误。”杜

    德尼只使用纸和笔就算出了这个答案，这个事实足以令所有人瞠目结

    舌。

    杜德尼设计了大量的硬币问题，下面这道题选自1917年出版的《数

    学的乐趣》(Amusements in Mathemati cs )。

    5枚一便士硬币

    这道题非常难，条件却很简单。每位读者都知道使4枚硬币彼

    此距离相等的排列方法：先将3枚硬币平铺到桌面上，使它们彼此

    接触，组成一个三角形，然后将第4枚硬币叠放到三角形中心点的

    上方。这样一来，每枚硬币都与其他所有硬币相接触，且每两枚硬

    币之间的距离都相等。现在，请大家找出让5枚硬币彼此距离相等

    的排列方法，并保证每枚硬币都与其他所有硬币相接触。你将发

    现，5枚硬币的排列方法完全不同于4枚硬币。

    为了降低这道题的难度，建议大家尽量使用大一些的硬币，例如两

    便士或10便士硬币，至少像我这样的笨人应该采取这个策略。杜德尼只

    给出了一个答案，但正确答案一共有两个。

    约翰·杰克逊于1821年出版的《冬夜的推理游戏》(Rational

    Amusement for Winter Evenings )中有一首小诗：

    我要栽9棵树，请你帮帮忙，树要栽10行，每行有3棵，如能帮助我，盛情永不忘。

    简单地说，就是把9棵树栽成10行，每行3棵，应该怎么栽？

    答案如下图所示。

    尽管没有证据表明这道题在杰克逊之前就已经出现，但杜德尼在

    《数学的乐趣》中称它的设计者是艾萨克·牛顿。解决栽树问题(需要

    栽若干棵树，使树排成若干行，每行有若干棵树)的最简便方法就是借

    助硬币。下面这道题是由杜德尼提出的。

    栽10棵树

    如下图所示，在一张很大的纸上放置10枚硬币。

    拿掉其中4枚，将它们放到其他位置上，使这10枚硬币排成5条

    直线且每条直线上有4枚硬币。如果你能做到(杜德尼说难度不大)，那么你能说出这道题有

    多少种解法吗(假设每次解题都从初始位置开始)？

    在解这道题时，我们不容易看清硬币位置的微小变化，因此我建议

    大家在纸上标出硬币的初始位置。

    杜德尼设计了几道将10个点(或10棵树)排成5行、每行包含4个点

    (或4棵树)的问题。如果无须遵循上一道题中只能移动4枚硬币的规定

    (也就是说，移动硬币的次数没有任何限制)，则还有另外5种排列方

    法，也可以将10枚硬币排成5条直线，且每条直线上有4枚硬币。杜德尼

    把这5种排法分别称作星形、飞镖、指南针、漏斗、钉子排法。(他还

    把上一道题的排列方法称作剪刀排法。)下图所示是星形排法，你能找

    出其他4种排法吗？问大家一个问题：为什么20世纪初名气最大的那个亨利·杜德尼是

    一名女性？

    爱丽丝·惠芬与亨利·恩斯特·杜德尼结婚时只有18岁，后来她成为一

    名可以与托马斯·哈代(Thomas Hardy)、伊迪斯·华顿(Edith

    Wharton)齐名的成功小说家。在为自己的作品署名时，她选择了夫

    姓，称自己为亨利·杜德尼夫人。她一共出版了大约50本小说，背景大

    多是英国东南部的乡村，那里有杜德尼夫妇建造的乡下庄园。两人都得

    到了伦敦文艺界的认可，爱丽丝还是菲利普·沙逊爵士(Sir Philip

    Sassoon)的知己。沙逊爵士不仅是一名富可敌国的国会议员，还是英

    国上流社会的活跃分子，经常在他位于肯特郡的豪宅里举办名人聚会。

    杜德尼夫妇的关系一度非常紧张。由于爱丽丝有了婚外情，两人分

    居了一段时间。1916年，两人一起搬回位于刘易斯市的一幢房子里。他

    们有各自的书房，分别在楼上和楼下。爱丽丝在日记里详细记录了她与

    杜德尼(她称其为恩斯特)在刘易斯市一起度过的时光。1998年，这些

    日记得以出版。在这些日记里，爱丽丝用略显尖刻而又充满深情的笔

    触，描述了她与这位全世界最伟大的趣题设计大师的共同生活。有时

    候，他们的关系亲近到令人难以忍受的地步——杜德尼深爱着自己的妻

    子，以致常常妒火中烧。爱丽丝写道：“恩斯特的脾气太暴躁了，他无

    法控制自己，但他并没有意识到这个问题(我是这样认为的)，所以也

    就不会想方设法改正了。归根结底，如果你嫁的是一个天才，而你自己

    又不是庸才，两个人的冲突自然在所难免……”

    杜德尼有着异乎寻常的天赋，可以将日常生活中的普通事物变成趣

    味横生的数学问题。他曾经在伦敦的俱乐部里利用雪茄设计出下面这道

    独具匠心的趣题。他在书中写道：“在相当长的时间里，这道题牢牢地

    吸引着俱乐部会员们的注意力。他们一筹莫展，认为这道题不可能有

    解。但是，看完下面的介绍，你就会发现答案其实简单至极。”

    这道题说的是雪茄，但我认为，如果借助硬币来思考，可能会更加容易。于是，我对这道题进行了改写。(如果你希望了解这道题的原

    貌，将所有的“硬币”改成“雪茄”即可。)

    空间争夺赛

    两名玩家坐在一张方形桌子旁边。第一名玩家先将一枚硬币放

    到桌子上，接着第二名玩家也做了同样的动作，就这样，两人交替

    在桌子上放硬币。条件只有一个：不可以触碰任何硬币。在桌子上

    放下最后一枚硬币的玩家获胜，因为他(她)占据了桌子上最后的

    空隙。

    桌子面积必须大于一枚硬币，否则在第一名玩家放下第一枚硬

    币后，游戏就结束了。此外，所有硬币都必须一模一样。

    有一名玩家肯定能赢得这场比赛。是谁呢？是第一名玩家，还

    是第二名玩家？他(她)应该采取什么办法才能确保自己获胜呢？

    后文还会讨论杜德尼的趣题，但现在既然我们已经把硬币放到桌子

    上了，就先尽情享受硬币问题带给我们的乐趣吧。

    1883年，苏格兰数学物理学家彼得·格思里·泰特(Peter Guthrie

    Tait)致函爱丁堡数学学会，称他在乘火车时发现了下面这道趣题。这

    件事让我进一步确定，自铁路问世之后，硬币问题就成为乘客们喜爱的

    一种消遣方式。

    泰特在很多科学领域都做出过贡献，他对数学的贡献是创建了纽结

    理论。他对实验情有独钟，还是一位多产的作家(曾与开尔文男爵合著

    了一部经典的物理教材)，但爱丁堡的学生们最崇拜他的地方是，他利

    用巨型磁铁、水流及满屋子的电火花完成了蔚为壮观的科学演示。不过，泰特最喜爱的道具可能是高尔夫球俱乐部。他对高尔夫球运动极为

    痴迷，并因此写了几篇研究高尔夫球(或称“旋转球状抛射物”)运动轨

    迹的论文。后来，他的儿子费雷迪成为一位知名的高尔夫球员，曾经两

    度夺得英国业余高尔夫球锦标赛的冠军。

    下面这道题据说源于日本，但它得以在西方广为流传，则应归功于

    泰特。

    泰特的棘手问题

    如下图1所示，将两种硬币交替排列。如果你只有一种硬币，那么可以让正反面交替朝上摆放。接下来，你需要改变这8枚硬币

    的位置，把相同的4枚硬币放在一起，如下图2所示。

    每次移动硬币时，必须同时移动相邻的两枚硬币。这两枚硬币

    可以移动到其他硬币所在直线的任何位置，但移动过程中不得变换

    彼此的位置：位于左侧的硬币必须始终在左侧，位于右侧的硬币必

    须始终在右侧。

    你能通过4次移动完成这项任务吗？

    做这道题时，如果不能立刻解决问题，就有可能失去信心。请大家

    不要轻易放弃，只要坚持下去，就有可能找到正确答案。为帮助大家找到方法，我们先考虑相对简单的6枚硬币问题。注

    意，达成目标之后，所有硬币整体向左移动了两枚硬币的距离。

    讨论到这里，我想不如顺势将最后一道泰特风格的问题介绍给大家

    吧。这道题只涉及5枚硬币，但多了一个限制条件：每次移动的两枚硬

    币必须是不相同的硬币。你可以只移动4次，将下图中上面的图案变成

    下面的图案吗？

    在上一章中，我们讨论过爱德华·卢卡斯曾经问同事的一道关于远

    洋客轮的问题。这位19世纪的法国数学家在他的《数学游戏》

    (Récréations Mathématiques )中介绍了下面两道传统趣题。

    4摞硬币

    如图所示，8枚硬币排成一行。每次移动硬币时，可以让这枚硬币向左或向右跳过两枚硬币，落在第3枚硬币上。每次可以跳过

    两枚单层硬币，或者叠放成一摞的两枚硬币。

    如何移动4枚硬币，把这8枚硬币变成4摞，每摞两枚？

    卢卡斯把下面这道题称作“青蛙和蟾蜍”。他建议大家使用国际象棋

    中的黑兵和白兵。如果手边没有国际象棋，用硬币也可以。

    青蛙和蟾蜍

    如下图所示，将3枚同一面值的硬币和3枚另一面值的硬币排成

    一条直线，两种硬币之间留1个空位。(或者以正反面区分这6枚硬

    币。)我们把左边的硬币称作“青蛙”，把右边的称作“蟾蜍”。

    青蛙只能由左向右移动，而蟾蜍只能由右向左移动。在沿着正确的

    方向移动时，青蛙和蟾蜍每次可以前进1格进入空位，或者跳过1枚

    硬币进入空位。

    如何将所有青蛙都移到蟾蜍所在的位置，并将所有蟾蜍都移到

    青蛙所在的位置？

    跳棋(或独立钻石棋)可能是最有名的一种棋子可以跳跃前进的单

    人游戏。1716年，博学的德国学者哥特弗里德·莱布尼茨(Gottfried

    Leibniz)说：“我非常喜欢独立钻石棋这个名称。”莱布尼茨在科学和哲

    学领域都有诸多贡献，包括发现微积分(与艾萨克·牛顿各自独立完

    成)、发明计算机以及推动二进制数字的应用(0和1分别对应他喜爱的

    独立钻石棋中的空洞和棋子)。但是，莱布尼茨在玩这个游戏时更喜欢反其道行之。通常的玩法是跳过棋子，进入空洞，同时将被跳过的棋子

    拿掉，但是莱布尼茨喜欢跳过空洞，然后在空洞处放置一枚棋子。他

    说：“你们也许会问，为什么要这样做呢？我的回答是：我希望发明一

    种完美无缺的艺术。”

    下面，我们开始玩硬币跳棋吧。我们采用正常的规则：任何硬币都

    可以跳过另一侧为空位的相邻硬币，而被跳过的硬币将被拿掉。就像国

    际跳棋一样，在跳过一枚硬币之后，如果还可以再跳，那么你可以选择

    连续跳，一口气跳过多枚硬币。

    三角跳棋

    如下图所示，将10枚硬币排列成一个三角形。拿掉其中一枚硬

    币，再通过硬币跳跃的方式，使桌面上最后只剩下一枚硬币。

    同前面的硬币问题一样，这道题也有极大的吸引力，让你恨不得立

    刻找到答案。在开始尝试之前，我建议你先找一张纸，并在纸上标出10

    个点，以免硬币错位。

    一番摆弄之后你会发现，如果拿掉2号位上的硬币，就可以采用下面的6个步骤解题：

    1.7号位上的硬币跳到2号位。(4号位上的硬币被拿掉。)

    2.9号位上的硬币跳到7号位。(8号位上的硬币被拿掉。)

    3.1号位上的硬币跳到4号位。(2号位上的硬币被拿掉。)

    4.7号位上的硬币跳到2号位。(4号位上的硬币被拿掉。)

    5.6号位上的硬币跳到4号位，再跳到1号位，又跳到6号位。(5号

    位、2号位和3号位上的硬币被拿掉。)

    6.10号位上的硬币跳到3号位。(6号位上的硬币被拿掉。)

    但是，我们还可以精益求精，找出5步解法。

    我已经介绍了很多道硬币问题，几乎占去本部分篇幅的一半，这是

    因为硬币是趣味问题中使用最广泛的道具之一。其物理属性使其具有多

    种使用方法：它们既可以像筹码一样滑动、堆叠，又可以当作几何中的

    点，还可以用作跳棋的棋子。此外，硬币的正反两面截然不同，易于辨

    认。下一道题或者说魔术，正是基于硬币的这个特点设计的。

    看不见的硬币

    你是一名魔术师。在戴上眼罩之后，你请一名观众将10枚硬币

    平铺在你面前的桌子上，然后告诉你其中有多少枚硬币正面朝上。

    你看不见这些硬币，也无法通过触摸的方式辨别硬币的 ......